设x,y,z为非负实数,且x+y+z=1求证:
√[y^2+z^2+z(x+y)]+√[z^2+x^2+x(y+z)]+√[x^2+y^2+y(z+x)]≥2
鱼儿老师:能否把你的证明附上 设x,y,z为非负实数,且x+y+z=1求证:
√[y^2+z^2+z(x+y)]+√[z^2+x^2+x(y+z)]+√[x^2+y^2+y(z+x)]≥2(1)
下面是wuys老师在上课时给出的证明.
证明(1)<==>√(x^2+y)+√(y^2+z)+√(z^2+x)≥2(2)
由(2)的轮换对称性,不妨设z<=x,y,则有
x^2+y≥x^2+z,z^2+x≥x^2+z,
由易证的不等式：√u+√v-√w≥√(u+v-w)(其中w≤u,v)得
√(x^2+y)+√(z^2+x)-√(x^2+z)≥√(x+y-z+z^2)
=√(1-2z+z^2)=1-z,
即√(x^2+y)+√(z^2+x)-√(x^2+z)≥1-z,(3)
由柯西不等式得
[√(x^2+z)+√(y^2+z)]^2=x^2+y^2+2z+2√[(x^2+z)(y^2+z)]
≥x^2+y^2+2z+2(xy+z)
=(x+y)^2+4z
=(1-z)^2+4z
=(1+z)^2,
于是√(x^2+z)+√(y^2+z)≥1+z，(4)
(3),(4)两式叠加,即得(2).
因此,不等式(2)成立,从而不等式(1)成立.
太难了，解出我也来看下。
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