近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2+y2b2=1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.
例1已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)
求证:-a2-b2a≤x0≤a2-b2a
分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.
解:设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得:y2-y1x2-x1=-b2a2•x2+x1y2+y1
又∵线段AB的垂直平分线方程为
y-y1+y22=-x2-x1y2-y1(x-x1+x22)
令y=0得x0=x1+x22•a2-b2a2
又∵A,B是椭圆x2a2+y2b2=1上的点
∴-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2以及-a≤x1+x22≤a
∴-a2-b2a≤x0≤a2-b2a
例2如图,已知△OFQ的面积为S,且OF•FQ=1,若12<S<2,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.
分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.
解:依题意有
∴tanθ=2S
∵12<S<2∴1<tanθ<4
又∵0≤θ≤π
∴π4<θ<p>
例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是()
Aa<0Ba≤2C0≤a≤2D0<2<p>
分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a|求解.
解:设Q(y024,y0)由|PQ|≥a
得y02+(y024-a)2≥a2即y02(y02+16-8a)≥0
∵y02≥0∴(y02+16-8a)≥0即a≤2+y028恒成立
又∵y02≥0
而2+y028最小值为2∴a≤2选(B)
二、利用判别式构造不等式
在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.
例4设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是()
A[-12,12]B[-2,2]C[-1,1]D[-4,4]
分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0
解:依题意知Q坐标为(-2,0),则直线L的方程为y=k(x+2)
[1] [2] [3] 下一页
|
