“借一还一”思想在解题中的应用

作者：崔岩梅
　　
　　什么是“借一还一“思想？我们先来看看八年级暑假作业中的一个小故事：从前有个牧民，辛苦一辈子所得全部财产是17匹马。临终前，他把三个儿子叫到身边留下医嘱：”孩子们啊，我把17匹马留给你们，老大得二分之一，老二得三分之一，老三得九分之一，把马分完，但不许把马宰了再分。“事后，三兄弟在一起商量了很久，始终无法按老人的意图把马分开，他们只好去请教爱动脑筋的邻居老大爷，老大爷认真思考后说：“我借一匹马给你们，共有18匹马，这样就好分了，老大得了二分之一是9匹马，老二得三分之一是6匹马，老三得九分之一是2匹马，你们总共分得了17匹，剩下的一匹马再还给我。”
　　
　　在上面的问题中，巧妙的“借一还一”既符合老人的遗嘱，又让三兄弟都满意。“借一还一”的思想也是解决问题的一种重要的数学思想。它可以使一些复杂问题变的十分简单，请看如下几例。
　　
　　例1，已知4个矿泉水空瓶可以换1瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，若不找钱，最多可以喝矿泉水（）瓶。
　　
　　A3B4C5D6
　　
　　解：解这道题可以先借一个矿泉水瓶，16个空瓶可以换回4瓶矿泉水，喝完后4个空瓶又能换回1瓶矿泉水，待喝完后，再把空瓶还给别人，这样最多可以喝5瓶矿泉水，故应选（C）。
　　
　　例2分解因式①4x4+1，②x4+4
　　
　　解：①4x4＋1=4x4＋4x2＋１－4x4＝(2x2+1)2－(2x)2=(2x2+2x+1)(2x2－2x+1)
　　
　　②x4+4=x4+4x2+4－4x2=(x2+2)2－4x2=(x2+2x+2)(x2－2x+2)
　　
　　例4若方程x2+2px－q=0(p，q是实数)没有实数根。
　　
　　（1）求证：p+q＜1／4（2）试写出上述命题的逆命题。（3）判断（2）中逆命题是否正确。
　　
　　（1）解由题意得方程的判别式△=4p2+4q＜0，得q＜-p2
　　
　　∴p+q＜-p2+q=－（p－1／2）2+1／4≤1／4
　　
　　∴p+q＜1／4成立
　　
　　（2）解：如果p+q＜1／4，则方程没有实数根。
　　
　　（3）解：不正确。如果当p=1，q=-1时，p+q＜1／4，
　　
　　但原方程有实数根x=-1
　　
　　巧妙的”借一还一”思想是数学解题的重要技巧.