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三角形那些三线合一的证明
来源：不详       更新时间：2011-12-20 17:23:31
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三角形的三线合一是出了名的，三条高交于一点，三条中线交于一点，三条角平分线也交于一点，我们就不禁要问了，为什么这么巧合他们都交于一点？在这些性质之间，是否有一个统一的性质？昨天的三线共点性质已经给出我们的答案。
      在昨天的文章后面，我举了一个中线交于一点的例子，以便大家看透三角形那些三线共点性质的本质，不过之后就有朋友问我，询问“三角形三条高以及三条角平分线交于一点的证明，我就在这里写下来，以供大家参考。
      昨天我们介绍的定理可以归结为下面：
     
      (必要部分也称之为塞瓦定理)过三角形三顶点A、B、C向对边引直线，相交对边分别与a、b、c，那么Aa、Bb、Cc三条直线交于一点的充要条件是：
     
      可能大家看着有点不一样，如果考虑线段的方向性(即Ba=-aB等)的话，右边就是-1，不考虑就是1.在这里为了讨论方便，也为了没有学过向量的朋友能看懂，我们就不考虑方向。现在我们分别来看看三角形的三条线。
      1：证明三角形三条中线交于一点
     
      这个问题最简单，因为aB/aC，bC/bA，cA/cB都等于1，所以最终定理中的式子也成立，从而这三条直线交于一点。
       2：证明三角形三条高交于一点
      
       证明：如图所示，什么垂直交点啥我就不废话了。我们要利用一下三角形的相似原理。因为△AaC与△BbC相似，所以有：
      
       同理，由△BAb∽△CAc，△ABa∽△CBc，得到下面的比例关系：
      
       将上面三个式子左边相乘，约掉该约掉的，就得到
      
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