读彭翕成 |
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| 来源：不详 更新时间：2012-1-3 20:03:09 |
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今日读到彭翕成老师《为何0/0极限可以是任何值》一文。感触颇多，感触的不在于彭翕成老师对这个问题的解答水平，而在于作为一数学科普人的态度。用高等观点看初等数学，用初等观点讲述高数，这是学夫子一向崇尚的做法。彭翕成老师用一个图说明0/0的极限为何可以是任意值：
CD∥AB，当B点靠近A点，AB和CD的长度都趋于0，而AB/CD的值却是随着C点的位置改变而改变，比如C是中点的话，AB/CD=1/2，C点在三等分点的话，其值就为1/3，若C点与O点重合，其值就为正无穷……
这个图自然是精彩不过，只要知道中学的相似原理即可，学夫子喜欢凑热闹，就来个狗尾续貂：彭老师送出头几何法的貂，我就在后面续个代数法的狗尾。
下面几个分式，当x趋于零的时候，分别趋于不同的值，自然不过。
当x趋于零时，就是这位同学问的0/0情形，显然第一个极限值为0，第二个极限值为1.第三个为2，第四个为10，第四个化简为1/x，最终趋于无穷大。
为何0/0的极限值可以是任何值？我们首先要知道，当分子为非零数，分母趋于零时，这个值就是无穷大，这个在正切函数图像或者反比例函数图像里就可以看出一些门道。0/0的情形，其实就是分子分母都变成零的情形，同样是趋于0，却有着“快慢”之分，比如x2就比x趋近于0的“速度”要快。当分子趋近于零的速度比分母快的时候，分子占据优势，这时候整个分数的极限就是零，当分母的“速度”比分子快时，就是趋于无穷，当两者速度一样时，就是趋于一个常数。
文章来源：学夫子数学博客
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