昨天我们通过导数工具探讨了《xy和yx之间的大小关系》。在后面简单提到了一下当xy和yx相等的情况，我觉得有必要来介绍一下当他们相等时公式的证明和推导。为了能让大家看懂，我用了一种比较简单，也比较耍赖的办法来证明。说这方法耍赖，是因为原则上我是知道答案后制造的推导方法。本文讨论的都是x和y均大于零的情况。
先上结论：
xy=yx，当且仅当存在实数t，使得：
x=(1+1/t)t,y=(1+1/t)t+1.其中y>x。
证明：必要性
在昨天的文章里我们谈到，要让 xy=yx，其实只需要让lnx/x=lny/y，当然其中最简单的一种结果就是x=y，这个情况我们忽略，现在就考虑x≠y的时候，该文章里我们也谈到，函数f(x)=lnx/x只有一个极值点，换句话说，欲让lnx/x=lny/y，除了x=y以外，对于特定的x，也就只可能有一个符合条件的y值。这个很重要，因为这就告诉我们，若是x已经确定，那么y也就确定。
我们更知道，xy和yx之间的大小，是以e为分界线，当x和y同时大于e或者同时小于e时，他们不可能相等，所以唯一的情况就是当x和y分别处于e的两边，不妨设x<e。在这里就遇到关键点，我们需要创造出x的一个表达式，使得他恒小于e，这让我们想起e的定义，如果我们设x=(1+1/t)t,其中t>0，那么x<e，我们这样做是基于一个原则，那就是f(t)=(1+1/t)t可以取0到e之间的任何值。由于y>x，所以我们不妨设y=(1+1/t)t(1+k),其中k>0.带入相应的等式中有：
经过一系列化简后得到：(化简过程我就忽略啦！)
这个方程的一个解是k=1/t，而根据前面所说的结论，这个方程的解也只有这一个，否则将会出现不同的y值。这个结论还可以通过绘制函数图象的方式来证明。这样一来，y=(1+1/t)t(1+k)=(1+1/t)t+1.从而证明了我们的结论。
至于充分性方面就很简单了，你将两个式子带入，通过化简即可证明他们成立。所以最终，这个问题就算是解决：
xy=yx，当且仅当存在实数t，使得：
x=(1+1/t)t,y=(1+1/t)t+1.其中y>x。
问题到这里，似乎已经解决完，不过我们依然可以挖出一些好东西，通过x和y的表达式可以看见，如果让xy=yx，并且x和y都是整数的话，那么t就只能取1，也就[1] [2] 下一页
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