为什么直线同侧函数值符号相同？ |
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| 来源：不详 更新时间：2012-4-27 13:46:29 |
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作者：学夫子
如果没错，高一的学生应该是刚好学完线性规划这一章节了。这部分内容里一个最重要的事实就是在直线Ax+By+C=0同一侧的点，是使得AX+BY+C有相同符号的点的集合。教材对此的处理就是实验，列举几个例子来得到此结论，包括人教版也是如此。并且引进了“上方下方”这样的词语，虽然能给人直观的印象，并且结论本身也易于接受，但是对于我们，还是应该对此有一个好的解释——有没有一个完整的证明方法？本文介绍一个，希望能引起共鸣。
先上图，然后慢慢说明问题
如图所示有一条直线Ax+By+C=0，A和B位于该直线的同侧，我们假设Ax1+By1+C>0,现在我们证明Ax2+By2+C>0也成立。我们采用的方法是反证法，即假设Ax2+By2+C<0，导出矛盾。为了方便，我们设p=Ax1+By1+C，q=Ax2+By2+C。证明之前，我们第一件事情就是，如何用数学语言描述A和B在直线L的同侧？这一种方法貌似很有效：
线段AB与L不相交————》线段AB里不存在内分点P(m，n)使得Am+Bn+C=0————》
但是事实上，因为p和q异号，若令λ=-p/q，则该式子成立，所以出现矛盾。也就是说，若p和q异号，则线段AB里存在直线上的一点，换句话说，A和B两点居于直线两侧，所以A和B的得到的函数值必须同号。上面的过程其实也证明了直线两侧函数值异号的结论。
所以看起来并不难，还可以作为一道定比分点公式和反证法的例题，学夫子觉得是大有好处。（来源：学夫子数学博客）
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