作者：学夫子
初中学过两倍角公式，很多参考书也介绍过三倍角公式，我们自然而然就会想到n倍角公式。我想好奇心强的同学肯定干过这样的事：用和的公式将四倍五倍展开，然后观察他们的规律，不过都是无功而返。这个问题的解决，得要归功于著名的棣莫弗公式，涉及到复数的内容，不过你只要知道复数符号“i”是什么意思就足够了：
这个公式的作用可不单单是拿来进行复数运算，若我们对右边用二项式定理展开后，对比左右两边的实部和虚部，将得到n倍角公式：
且看下面一行，当k取偶数的时候，这一项就是实数；当k取奇数的时候，这一项就是虚数。到最后所有的实数就构成结果的实部，所有的虚数项就构成结果的虚部。根据复数相等的规则，左右两边的虚部和实部应该相等，那么就有：
这后面就一直写，直到写不下去为止
这个就是n倍角公式，维基百科里有常用的n倍角公式，大家可以参考参考。其实就算是要推导的话也不会太难，只要知道二项式定理就不在话下。
大家都知道，学夫子的原则是，不会随便抄点网上的东西就算一篇文章。这里也是一样，写这篇文章只是一个预热，担心有朋友不知晓这一公式，更重要的地方时，我们将在下一篇文章给出一个问题的证明，那就是我在《将圆N等份，漂亮至极的结论》一文里提到的一个性质：
将一个单位圆N等分，取其中一个N等分点，则这个点到其他N-1个点之间的距离乘积等于N。
比如下图所示，A,B,C,D,E为单位圆的五等分点，那么过A点做B,C,D,E三点的连线。那么有AB×AC×AD×AE=5
来源：学夫子数学博客
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