二次方程根的分布问题绝对是重中之重，不仅是不等式里的重点，而且常与解析几何，导数等内容结合起来作为大题考察。我们知道的是，对于二次方程根的分布问题，不管是什么情况，只需要搞定三个方面：判别式；对称轴范围以及端点函数值符号。只要这三个方面都考虑进去，那么关于此类问题也就解决，只是在一些特殊情况下，有些因素没有限制，而有时候有些因素用不着考虑，但是大体的方向一定是如此。不过据我在平时教学中的观察，大多数学生对于判别式和端点函数值符号都能够准确判定，唯独对于对称轴的位置判定往往找不到头，特别是遇到类似下面这样的一道题：
这是一个典型的根的分布问题，大多数学生对于判别式与端点的函数值符号都能够准确判断，唯独对于对称轴的取值范围不明了，我想大多数学生解决对称轴问题都是采用观察方法，一不小心就容易将此题对称轴的范围看成(-3,1)或是(-2,0)，观察细致的同学可能会观察准确的答案,那么有没有比较严谨的办法解决对称轴问题？一定非得靠观察么？本文提供一种方法希望能帮助各位。
只要你注意并且意识到：若二次函数所对应的方程的两根为x1和x2,那么该函数的对称轴为x=(x1+x2)/2,那么所有问题就好办多了。且看：
-3<x1<-2,0<x2<1得到：-3/2<(x1+x2)/2<-1/2，所以该题对称轴的范围是(-3/2,-1/2)
下次在你没有把握的情况下，就可以按照这种方法做，通过两个根的范围得到(x1+x2)/2的范围，这就是对称轴的范围。当无法得到(x1+x2)/2的范围时，说明这个时候对称轴没有限制，这其中也可以结合线性规划进一步确定。举一些例子
1：m为何值时，关于x的方程8x2-(m-1)x+m-7=0的两根均大于1？
x1>1,x2>1,(x1+x2)/2>1所以对称轴的范围是(1,+∞)
2：已知α，β是方程x2+(2m-1)x+4-2m的两根，且α<2<β，求m的取值范围。
α<2，β>2，无法得到(α+β)/2的范围，事实上可以看做-∞<α<2,2<β<+∞，得到-∞<(α+β)/2<+∞，也就是说对称轴没有限制。当然若觉得此法不严谨，可将α和β看做两自变量，利用线性规划解决。（来源：学夫子数学博客）
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