江西省安福县城关中学 曹经富
“课题学习”类试题在近年各地中考试题中频频出现,此类题型特点鲜明、内容丰富、超越常规,源于课本,又高于课本,不仅注重数学实践应用、动手探究的培养,还关注学生学习的过程和思想方法的渗透.这类试题较好地考查了学生的阅读理解能力、知识迁移能力和分析问题、解决问题的能力,这无疑为课堂教学注入了新鲜的活力。它既是一项全新的课程内容．又是一种具有现实性、问题性、实践性、综合性和探索性的新型的学习活动．经常成为呈现中考数学知识和能力的载体。现结合2011年各地中考题进行说明，希望能给大家带来一定的启示与帮助．
一、情景问题拓展类
例1：（2011江苏盐城）情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是，∠CAC′=?/SPAN>．
 
问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.
思路点拨：沿矩形的对角线剪开所得的两个三角形是全等的，由如图2中位置及全等关系可得BC=AD，∠CAC′=90?/SPAN>；在图3中，当等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF的直角顶点重合于直线GP上的点A时，构建了如图2所示的两个直角三角形全等的数学模型，即Rt△ABG≌Rt△EAP.Rt△ACG≌Rt△FAQ，进而得到AG=EP，AG=FQ，从而得到EP=FQ.在图4中，当背景由等腰直角三角形变为矩形时，但矩形的长与宽之比均为k,从而构建了如图2所示的两直角三角形相似（全等）的数学模型，借助相似比及Rt△EPH≌Rt△FQH.容易得出HE=HF。
解：情境观察AD（或A′D），90
问题探究结论：EP=FQ.证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90?
∴∠BAG+∠EAP=90?∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90?/SPAN>，∴∠ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90?/SPAN>，∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.
同理AG=FQ.∴EP=FQ.
拓展延伸结论：HE=HF.理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.
∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90?/SPAN>，
∴∠BAG+∠EAP=90?AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90?/SPAN>，
∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90?/SPAN>，∴△ABG∽△EAP，
∴=.同理△ACG∽△FAQ，∴=.
∵AB=kAE，AC=kAF，∴==k [1] [2] [3] [4] 下一页
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