中学数学里的那些“宠儿” |
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来源:不详 更新时间:2012-11-5 12:20:20 |
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作者:学夫子
我们经常会在数学学习中碰到这样那样的特殊情况,都说一般包含特殊,但往往这些特殊情况却成为我们的绊脚石,或许是因为他们太过于特殊,以至于我们经常忽略,也或许我们潜意识中认为他们的地位无关紧要。学习考试的过程中就因为忽略了他们而犯错。在这一期的文章里,我将高中数学里那些“宠儿”总结总结,以便让我们自己时刻注意。
1:集合
集合里的“宠儿”,自然就是空集,一个没有任何元素的集合。作为从初中进入高中的第一章,仅仅是这一点就足以让很多学生晕头转向,怎么也想不通为何“空集是任何集合的子集”这一性质。如果从子集的定义——如果对于任意的a∈A,都有a∈B,那么就称A是B的子集——来说的话,根本不可能存在一个元素a∈A,条件就不可能成立,那又怎么使得结论成立?我在《浅谈“空集是任何集合的子集”》一文里已经通过几方面来解释,详情参考这篇文章。
2:函数
要说“函数”一节内容,其最容易忽视的当是常数函数,这是连接常量和变量之间的桥梁。其函数图象属于直线方程的范畴,也恰好说明一次函数是最基本的函数,一次函数里的y=x在函数领域里的位置,就好比数字1在实数乘法里的位置,反函数的符号之所以写成原函数的“-1次方”,其实就包含着这么一点。而常数函数就应当是相当于实数加法里的0、等比数列里的常数列了。
3:指数对数
指数里最特殊的,要数00,这在中学看来是没有意义的,而在极限理论看来,他之所以没有意义是因为从不同的角度看它都有不同的取值:从0的任何次方等于0来看,他应该等于0,而从任何数的零次方都等于1来看,他又应该等于1。这种不确定性,在极限里就叫极限不存在,自然也就没有了意义。更多内容请参考文章《0的0次方以及0/0》
同样的道理,log11也是没有意义的。
4:数列
数列这一部分重点介绍了等差和等比数列。等差数列的几个公式当中倒没有什么例外,但是等比数列就有——其求和公式分成q=1和q≠1两种情况。虽然我们若从极限的角度,这两种情况其实可以合二为一,但在中学阶段,无疑需要大家分得很清楚。常数数列,实际上是等比数列和等差数列的桥梁,他包含了等差数列d=0的特殊情况,也包含了等比数列q=1的特殊情况,其地位很像函数里的常数函数和实数里的零,起着连接两大不同领域的作用,却也因此常被忽略。
5:向量
不用说,向量的“宠儿”,当然应该是零向量——一个没有长度的向量,严格来说其方向应该是任意的,却被规定与任意向量平行。这规定貌似和空集的规定很类似,那么又是为何要规定零向量与任意向量平行?一个简单的解释是,这种规定使得零向量其自身平行,从感觉上,相比于一个向量与其自身垂直来说,我们更乐意接受一个向量与其自身平行。当然还可以从平面向量基本定理的角度来考虑,详情可以参考《为何规定零向量与任意向量平行?》一文。
当然,从更深层次的角度来说,这种规定是为了保持向量内部运算的封闭性。
6:三角函数
三角函数里要注意的,就是tanx,因为当x=90°+180°k时没有意义。这也是我们经常犯错的地方。
7:直线方程
直线方程的宠儿,本质上来说应该来自于三角函数。那就是当倾斜角等于90°的时候,顺带着倾斜角为0°的时候也跟着受宠。在解决任何有关斜率的问题时,都不要忘记斜率不存在的情况,就好像我们在研究任何涉及到子集的问题时,都不要忘记空集一样。也正是因为他的存在,使得我们必须引入直线方程的一般式。这里有一个趣味问题问大家:既然y=kx+b不能表示所有的方程,为何在初中的时候却没有提出来?
8:圆的方程
圆的方程貌似没有“宠儿”,如果非要说的话,大概单位圆用得比较多。不过如果我们从射影几何的角度来考虑,那么直线和点都会成为圆的宠儿——点可以看做半径为零的圆,直线可以看做半径为无穷大的圆。这种关系在更高级的几何中将得到展现,比如著名的“对偶原理”。
9:圆锥曲线
椭圆的“宠儿”[1] [2] 下一页
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