用拼图证明四边形“等周问题”

作者：江苏省淮安外国语学校赵齐猛
　　
　　蔡宗熹先生在专著《等周问题》(科学出版社，2002年5月)中，先证明了“几个简单引理”，继而在三角形“等周问题”结论的基础上，证明了四边形“等周问题”的定理:“周长一定的一切四边形中，以正方形的面积最大”．参阅国内外有关文献，就“等周问题”的研究，当数蔡老先生论述最精辟！所述素材环环相扣，行如流水，读罢让人颇受启迪．
　　
　　蔡老先生在专著中，证明引理3“设两三角形的底边长度及两侧边长度之和分别相等，那么两侧边之差较小的三角形具有较大的面积”[①]之后，证明了四边形“等周问题”的定理.其证明方法如下．
　　
　　设四边形ABCD就是那个具有最大面积的四边形（图1）．连对角线AC，易知当底边AC及两侧边AB、BC之和一定的条件下，△ABC的面积亦为最大．否则，将△ABC剪下来换上另一个以AC为底，两侧边之和等于AB+BC而面积更大的△AB*C．此时四边形AB*CD的周长和ABCD的周长相等，但却具有更大的面积，这和假设四边形ABCD的面积最大相矛盾．于是，根据引理3△ABC是一个等腰三角形即AB=BC．同理可知BC=CD、CD=DA，因此，ABCD是菱形（图2）．设该菱形的边长为a，锐角为θ．菱形面积等于底乘高，即SABCD=a2sinθ，但因这个菱形是所有边长一定的菱形中具有最大面积者，故必须θ=

，也就是说四边形ABCD是正方形．周长一定的正方形是惟一的，于是定理得到了证明．
　　

　　受蔡老先生方法的点拨，笔者对“等周问题”进行了粗浅的思考，发现我们可以用较易懂而简捷的拼图方法来证明四边形“等周问题”的定理．证明过程基于下面3个事实：
　　
　　⑴等周长的四边形，当四边形为平行四边形时，其面积最大．
　　
　　⑵等周长的平行四边形，当平行四边形为矩形时，其面积最大．
　　
　　⑶等周长的矩形，当矩形为正方形时，其面积最大．
　　

　　证明：⑴我们知道，任意一个四边形都可以剪拼成一个等面积的平行四边形．如图3，在任意四边形ABCD中，设E、F、G、H分别为四边的中点，连结EG、FH交于点O，则四边形ABCD被分割成四个小四边形，将四边形AEOH、OFCG分别绕点H、G旋转到四边形DE′RH、PF′DG，四边形EBFO沿BD方向平移到四边形E′DF′Q，这样四个小四边形便重新拼成□OPQR（如图4），显然有S□OPQR=S四边形ABCD．下面我们要说明□OPQR的周长≤四边形ABCD的周长．事实上，连结HF′、GE′，□OPQR的周长等于2（HF′+GE′），四边形ABCD的周长等于2（DH+DG+DF′+DE′），而HF′≤DH+DF′，GE′≤DG+DE′，所以HF′+GE′≤DH+DG+DF′+DE′，即□OPQR的周长≤四边形ABCD的周长．
　　
　　由此可知，等面积的四边形，当四边形为平行四边形时，其周长最小．换言之，等周长的四边形，当四边形为平行四边形时，其面积最大．
　　

　　⑵如图5，四边形A′BCD′是一个与矩形ABCD等边长的非矩形的平行四边形．作A′E⊥BC，D′F⊥BC，垂足分别为E、F．易得△A′BE≌△D′CF，A′E＜AB，所以△A′BE可以沿BC方向平移到△D′CF，四边形A′BCD′可以剪拼成矩形A′EFD′，于是四边形A′BCD′的面积=EF·A′E＜BC·AB=矩形ABCD的面积．所以，等周长的平行四边形，当平行四边形为矩形时，其面积最大．（这一事实也可以直接由平行四边形面积公式得到证明）
　　

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