数学概念中“角”之关联与应用

从B点到C点和从C点到D点运动时间和运动距离都是相同的，说明速度没有发生变化，图2中显示出的是∠CBG和∠DCI相同.因此，从B到D就是匀速运动.
　　
　　如果用这样的折线图研究距离、速度和时间三者的关系，那么运动速度实际上在图中是由角度决定的.如果运动速度时时刻刻都在变化，可以想象折线就会成为曲线了，因为角度是在不断变化，数学中通常叫做连续变化.对于角度连续变化的曲线，就要利用曲线的“切线”及其斜率来描述速度的变化规律了，微积分中的导数概念就是这样产生的.在微积分中计算曲线弧的长度实际上也是利用这样的方法.
　　
　　三、周角与三角形内角和
　　
　　周长与周角中的“周”意义是相同的，都有“旋转一圈”的意思.用角度理解“旋转一圈”，就是旋转了360度.以长方形为例，在图3长方形ABCD中，想象A点位置有一只蚂蚁向右沿着AB边爬行，到B点拐弯向上沿着BC边继续爬行，到C点拐弯向左沿着CD边爬行，到D点拐弯向下爬行到A点拐弯向右，并停止爬行.这时候，蚂蚁回到出发时的状态，即位于A点，头朝向B点方向.那么蚂蚁爬行的轨迹就形成了这个长方形的“周”，蚂蚁爬行的距离就是长方形的周长.如果把蚂蚁从出发到回来的方向因素考虑进来，那么蚂蚁在爬行过程中拐弯所转过的角度总和一定等于周角360度.比如，蚂蚁爬行到B点时，爬行方向由“向右”转向“向上”，转过的角度是90度；到C点由“向上”转向“向左”，转过的角也是90度.依此类推，蚂蚁从出发到回来，一共拐弯4次，每次转过的角度都是90度，所以蚂蚁爬行一周所转过的角度总和是360度.用类似方法还可以证明“三角形内角和等于180度”.
　　
　　在图4三角形ABC中，假设一只蚂蚁从A点出发，沿着三角形的三条边爬行，最后回到A点位置，并且头的朝向与出发前一致，即朝向B点方向.全程共拐弯三次，虽然对任意三角形不知道每次拐弯转过的角度，但所转过的角度总和应当等于周角即360度，即：∠EBC+∠FCA+∠DAB=360（度）.
　　
　　另外从图4中看出，∠ABE、∠BCF、∠CAD分别都是平角180度.分别去上面蚂蚁拐弯时转过的角，就得到三角形的三个内角.其总和就是：
　　
　　180×3-360=180（度）
　　
　　从这个方法可以联想出任意多边形内角和.比如一个10边形，应当有10条边和10个顶点.假设一只蚂蚁从一个顶点出发，沿着10边形的各条边爬行，最后回到原来状态.由于蚂蚁每次拐弯都是在顶点处，所以一共拐弯10次.拐弯转过角度总和仍然是360度，类似于上面的平角一共10个，所以10边形内角和就是：
　　
　　180×10-360=1440（度）
　　
　　这样的方法与中学乃至大学课程中的向量有关.所谓向量就是不仅考虑量的大小，还考虑量的方向.前面例子中，不仅考虑蚂蚁爬行的距离，还考虑蚂蚁爬行的方向，描述这种方向的方法就是拐弯时转过的角度.这些思想和方法如果在小学阶段有所渗透，无疑对学生今后的学习和发展是有益的.
　　
　　四、形状与角
　　
　　数学中研究平面图形形状首先关心是否完全一样，所谓完全一样就是可以重合，这样的两个图形叫做“全等（Congruent）”.两个图形如果全等，就意味着不仅形状一样，而且大小相同；如果大小不一样，就关心模样“像不像”的问题，所谓“像”的含义好比把一个人的照片放大，虽然人的大小不同，但模样是一样的，这时候叫做“相似（Similar）”.两个图形相似就意味着通过对其中一个图形成比例地放大或缩小，能够使得两者全等，也就是可以重合.
　　
　　两条直线通过移动位置可以完全重合，这说明所有直线都是全等的.同样道理，所有射线也都是全等的.任意两条线段中的一条都可以通过延长或缩短，与另外一条线段重合，这说明任意两条直线段都是相似的，这样的性质曲线就不具备.其原因是直线或直线段的方向是确定的，曲线的方向是不确定的.由此看来，形体的形状与方向是密切相关的，也就是与角是相关联的.
　　
　　不难发现，所有的正方形模样都一样.就是说通过放大或缩小一个正方形，可以与任何一个正方形重合，也就是任意两个正方形都相似.两条边长不同的长方形就不具备这个特征.这是为什么呢？
　　
　　图5中是任意两个大小不同的正方形，有一个共同特征，就是相同位置的线段所形成的角度都是一样的.比如底边与对角线的夹角∠ACD=∠E

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