破解椭圆中最值问题的常见策略

有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。
　　
　　第一类：求离心率的最值问题
　　
　　破解策略之一：建立的不等式或方程
　　
　　例1：若为椭圆的长轴两端点，为椭圆上一点，使，求此椭圆离心率的最小值。
　　
　　分析：建立之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中的取值进行求解离心率的最值。
　　
　　解：不妨设，则，
　　
　　利用到角公式及得：（），
　　
　　又点在椭圆上，故，消去，化简得又即
　　
　　则，从而转化为关于的高次不等式解得。
　　
　　故椭圆离心率的最小值为。（或，得：，由，故）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）
　　
　　点评：对于此类最值问题关键是如何建立之间的关系。常用椭圆上的点表示成，并利用椭圆中的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。
　　
　　破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围
　　
　　例2：已知椭圆C：两个焦点为，如果曲线C上存在一点Q，使，求椭圆离心率的最小值。
　　
　　分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。
　　
　　解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：
　　
　　故，故椭圆离心率的最小值为。
　　
　　点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。
　　
　　第二类：求点点（点线）的最值问题
　　
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