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一道经典函数题目

来源：不详更新时间：2013-5-14 14:04:22

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【原题】已知 $f(x)$ 是一个定义在R上的连续函数，且对于任意的x都有 $f(x)=f(2x)$ 成立，证明f(x)为常数函数。
　　解：从题目中我们知道，对于任意的x，对于任意的n，都有 $f(x)=f(\frac{1}{2^{n}}\cdot x)$ ，既然说该函数“连续”，意思就是说其当n趋于无穷大时候，该式子也成立，否则就不叫连续了嘛！于是有 $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }[f(\frac{1}{2^{n}}\cdot x)]=f(0)$ ，所以函数为常数函数。
　　
　　要知道得是，题目中的“连续”条件必不可少，当没有“连续”的前提时，此时存在诸多不是常数函数的例子。最广为人知的要数狄利克雷函数：
　　
　　当x为有理数时，f(x)=1，当x为无理数时，f(x)=0。这个函数显然是满足条件的，狄利克雷函数最大的一个特点，就是不连续——处处都不连续。
　　
　　如果说这个函数有些远离中学数学的范畴，下面这个函数就是一个绝佳例子了： $f(x)=sin(2\pi \cdot log_{2}|x|)$
可以检验，

$f(2x)=sin(2\pi \cdot log_{2}|2x|)=sin(2\pi \cdot (1+log_{2}|x|))=sin(2\pi \cdot log_{2}|x|)=f(x)$ ，而该函数显然不是常数函数。
　　
　　

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