面积求取之旅_科普之友

不知道是哪位老祖宗想出了面积这一数学概念，此后对面积的研究便是生生不息。我们都知道，面积这个量是以单位正方形为单位的，之所以如此规定，想必本身就承载着古人“化曲为直”的梦想，他们希望能用简单对称的正方形来表示一块平面区域的大小。于是对各种奇形怪状的面积的求取就由此展开。
　　
　　一：先搞定直边图形
　　
　　有了面积的概念，人们首先是推出了矩形-三角形的面积公式，有了三角形的面积公式，那问题就简单多了，这意味着所有多边图形的面积就已经不在话下。特别是毕氏学派发现勾股定理以后，对多边形面积的求解就是更加地如鱼得水。人们甚至可以将任何多边形的面积用一个等面积的正方形来表示——看来一个正方形似乎足够了。当人们将这一成就用到曲边图形上时，人家曲边图形可叫不依了：本来我就与众不同，硬要跟那直直的正方形配对就已经很不愿意，而且你们的聘礼就只有一把“没有刻度的直尺”和一个“空头承诺有无限半径的圆规”，打死也不同意。于是乎，经过两千多年的研究，人们确实发现，这点聘礼是真的不够，不可能办成这事的。
　　
　　别说将之化成等面积的正方形，就算是简单的求出其面积，也不是件容易事。
　　
　　二：然后搞定特殊的曲边图形——圆
　　
　　说起曲边图形，印象最深的自然就是圆，什么月亮太阳啥的都能产生这形象（甭跟我纠结太阳月亮是椭圆的），整曲边图形自然先拿圆开刀。关于圆啦，这东西说来可就多了，从论证数学之父泰勒斯开始就已经有圆的研究，然后到希波克拉底的月牙定理、欧几里得的几何原本，不过都没有涉及到圆的面积，倒是关于圆的周长有了比较明确的结论——圆的周长与半径的比值是一常数。是的，虽然我不知道这个常数是多少，但是我就是知道你的存在。当然了，既然我已经知道你的存在，我比如会想方设法去寻找，两千多年来关于这个常数——圆周率π的寻找就一直伴随着人类，可以说，对她寻找的方法，基本上可以代表人类的科技发展水平。
　　
　　至于圆面积的具体研究，这个问题就要交给阿基米德了——他证明了圆的面积与半径平方成正比。然后与圆有关的其他曲边图形的面积也就顺带搞定，比如扇形，球体什么的。然后，然后就是，阿基米德对面积的这一层认识基本上就代表了人类对面积认识的最高水平。在此以后的近两千年时间里，再也没有超过这个高度，自然也没有任何其他曲边图形的面积公式。直到17世纪微积分的出现。
　　
　　三：微积分来了，奇形怪状些小心
　　
　　有了解析几何这个强有力的工具，牛顿莱布尼兹两个人独立发明了微积分（请允许我使用发明一词），虽然微积分的作用不仅是求面积，但必须承认，微积分在这一领域取得了巨大成功。另一方面，微积分的发展也大力推进了一个古老问题——圆周率π数值的求解。也就从另一个角度促进了面积问题的发展。
　　
　　曾经记得有一次去应聘一所中专学校的教师，面试官问我一个问题：你觉得微分和积分的关系是什么？我答：一个是变化率，一个变化量。于是我通过了。微积分的主要两个主题其实就是这两个——变化率与变化量。咱们在中学的时候就学过线性变化的变化率和变化量，微积分只是将这个思想推广到非线性变化而已。
　　
　　不过微积分的思想并不是一夜得来，和阿基米德的层次也绝非风马牛不相干。实际上在阿基米德的圆面积求法中，以及历年对圆周率的求解过程中，早就已经透露着微积分的基础思想——极限。只是人们在对待这个问题上，一直都很小心翼翼。是牛顿他们发扬光大了极限思想，将人类的思维提高到了另一个完全不同的境界。也正是从这里开始，数学开始脱离现实而存在，此后发展的诸多数学学科，开始变得极具抽象，基本上就纯粹是逻辑推理的产物。比如我们的面积。
　　
　　四：脱离红尘
　　
　　人类的数学思维已经达到了非常高的高度，拿我们的面积来说，本来这是一个非常具有现实意义的概念，如今到了分析学中，面积被定义成了“一种由平面图形的几何映射至实数的函数、二维空间的勒贝格测度……从纯粹思维的高度定义面积这一概念。数学变得越加抽象，也许正是如此，数学才能摆脱现实的束缚，自由发展。
　　
　　总结来说，面积的进化好比金庸笔下的武林高手：初入道，欲凭一己之勇闯天下，虽屡遭失败，却依然执着不已，最后终于得道，万民臣服。却最终看破红尘，得道升仙，幻化成了人们思维的印记。
　　