一道高考题的深厚背景

【原题】已知函数 $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ ，下列结论中错误的是（）

A. $\exists x_{0}\epsilon R,f(x_{0})=0$

B.函数 $f(x)$ 的图像是中心对称图形

C.若 $x_{0}$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点，则 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,x_{0})$ 上单调递减

D.若 $x_{0}$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，则 $f'(x_{0})=0$

此题乃2013年新课标2试题，选择题第11题，这个位置的题目该是有一定难度的吧。不过这道题就是A、B两个吓人而已，重点是第三个，很容易判定选项C是错的，你只需要知道“极小值点”的定义即可。D选项的正确性不容置疑，那么也就是说A、B两选项是对的，这就有话要说了。

选项A的意思其实就是说，三次方程一定有实数解，实际上不止如此，我们甚至可以断定，奇数次方程也一定有实根，还得听我到来：

若一个多项式方程没有实根，那么就一定有虚数根，还知道复数里面有个叫“共轭复数”的概念吧，共轭这个词真的很好，唇亡齿寒，一起出生入死，这个定理便是这种感情的描述：如果a+bi是多项式方程的根，那么其共轭复数a-bi也是该方程的根。该定理的核心是： $(Z)^{n}=\overline{Z^{n}}$ 其中 $\overline{Z}$ 代表Z的共轭复数，比如 $(a+bi)^{2}=\overline{(a-bi)^{2}}=\overline{a^{2}+b^{2}-2abi}=a^{2}+b^{2}+2abi$ 。由此便可以很容易证明： $f(\overline{Z})=\overline{f(Z)}$ ，所以若f(Z)=0,那么 $f(\overline{Z})$ 也肯定为零。

这个定理是在说，多项式方程的根都是成双成对出现的，也就是虚根的个数是偶数个，而奇数次方程的复数根是有奇数个的，自然就肯定有一个实数根。由此我们可以断定，五次、七次这些方程肯定有解，只是我们无法求得而已，这就叫可望不可即。

第二个更有意思了，三次函数一定是一个中心对称图形，我们不打算证明，且看看这一结论的用处，因为我们可以根据这一结论去追寻卡尔达诺求解三次方程的思想哟。

若函数 $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ 的图像是一个中心对称图形，这就意味着，我们可以通过左右平移（也就是只改变自变量x），使得对称点在Y轴上。对称点在Y轴上就意味着，只需要上下平移就可以使之移动到原点而变成奇函数，这就意味着，对称点在Y轴上的话，函数f(x)的形式就是一个奇函数+常数。我们假设左右平移的量为m，那么有：

$f(x-m)=(x-m)^{3}+a(x-m)^{2}+b(x-m)+c$

$=x^{3}-3x^{2}m+3xm^{2}+m^{3}+ax^{2}-2amx+am^{2}+bx-bm+c$

$=x^{3}+(a-3m)x^{2}+(3m^{2}-2am+b)x+m^{3}+am^{2}-bm+c$

所以只需要让a-3m=0即 $m=\frac{a}{3}$ 即可，此时 $f(x-\frac{a}{3})=x^{3}+(b-\frac{a^{2}}{3})x+\frac{4a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c$ 。这一推导过程其实也间接证明了f(x)关于中心对称的正确性，顺便还得出了其对称中心为 $(-\frac{a}{3},f(-\frac{a}{3}))$ ，这便是300多年前卡尔达诺所采用的方法。

一道高考题，背后所涉及的东西可不少。

来源：学夫子博客