善的数和恶的数

　　
　　可是，聚集在毕达格拉斯周围的年轻人很少只是学习科学。他们很快就介入岛上的政治生活，而置萨莫斯岛的独裁者波利克拉特的态度于不顾。“独裁者”这个词在当时还没有他后来所获得的基本意义。当时的独裁者通常是普通市民，也就是人民利益的代表，因此是反对贵族的。毕达格拉斯的门徒们的贵族倾向不合波利克拉特的意，他们的学校很快就被捣毁了。神秘数学的信徒们连同他们超人的老师一起，被迫从岛上逃跑了。他们很可能是沿着整个地中海迁移。他们大部分定居在被称为伟大国家的希腊。亚平宁半岛的南部和西西里岛也因此而获得了伟大的称号。毕达格拉斯本人定居在塔连特，他在那里又当上了校长。年轻人又像在萨莫斯那样聚集在他的周围，可是，这所学校遭到了和萨莫斯岛上的那所学校同样的命运。毕达格拉斯迁移到科罗多尼，又从那里跑到米太旁登，正像前面所提到的那样，他八十岁或者九十岁时，死于米太旁登街道上的一次夜间搏斗之中。现在，我们再来介绍一下毕达格拉斯学派所从事的科学研究。毕达格拉斯学派特别喜爱的数学领域之一是数论。当时，吸引他们的乃是数的某些符合他们带有东方神秘色彩的神秘哲学的性质。
　　
　　毕达格拉斯学派认为，世界上的一切都服从于整数的比数所服从的那样的规律。他们发现，在用力相等的情况下，弦长的比数等于像2：3，3：4等等自然数的比数时，各弦就同时发出谐音。他们把这种局部的现象推及到整个宇宙。这样，按照他们的学说，地球，月亮，当时已知的所有的行星以及太阳都围绕着某个中心火球的球面旋转。这些球面的半径同样也有和发出谐音的弦长那样的比数。任何可以列举出来的宇宙中的物体，在其运动时似乎也都发出这样的谐音。尽管毕达格拉斯学派的宇宙构造论带有神秘的性质，地球围绕着某个中心旋转的正确思想确是以此为基础的，尽管毕达格拉斯学派所指的这个中心不是太阳，而是某个不存在的中心火球。
　　
　　毕达格拉斯学派把所有的整数分为善的和恶的两种。奇数为善的，偶数为恶的。单位数1被认为即是善的又是恶的开始，因为善的奇数加上它就变成为恶的数，而恶的数加上它就变成为善的数。毕达格拉斯学派的思想中的许多东西在数学中得到了进一步的发展。从毕达格拉斯学派所研究的数论中自然提出了许多问题，由此导出了非常重要而又难以得到的结果。也就是在毕达格拉斯学派正陶醉于这种宇宙的整数谐音的时候，他们发现，原来还有一些不能写成整数的比数的数。例如，√2就是这样一个数。这使他们如闻霹雳，大为震惊。
　　
　　为了回答这个问题，我们还是回到毕达格拉斯定理上来。我们不禁想到，一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。这里，我们会取一个每条直角边都等于1的等腰直角三角形。那么，根据上述定理，斜边的平方等于2，因此斜边本身等于√2。但是，√2不可能写成两个整数的比数。今天，都知道这个数是无理数。毕达格拉斯学派自己显然没有明确的无理数的概念，但是他们发现了这样一个事实，就是有些线段的长度无法使它们和整数的比数相等。这一发现从根本上和他们的“整数”哲学相抵触。他们怎么办呢？除了他们心里想到的以外，什么也没有做。他们设法隐瞒了自己的发现，不让未得真传的人们知道。没有无理数！什么也没有！有的只是整数和它们的比数！
　　
　　然而，想瞒也瞒不住，谁也无法长期隐瞒这一发现，过了一段时间，无理数的秘密就开始被不是毕达格拉斯学生的那些人知道了。据说，这个秘密是被毕达格拉斯的一个名叫基普帕斯的学生泄露出去的。从毕达格拉斯学派的观点来看，这是骇人听闻的罪行！要知道，他们每个人入学时，都庄严地宣誓要始终严守秘密，然后才能允许入学。现在却出现了违背这一誓言的罪人。怎样处置他呢？毕达格拉斯的门徒们祈求神灵的帮助。当基普帕斯的船队载着大量的货物返回故乡的港湾时，海神普赛登使他遭受到了可怕的暴风雨。暴风雨开始冲散了船队，然后使船连同船主一起沉殁。这个传说当然是毕达格拉斯的门徒们自己编造出来的。显然，很难想象一个埃及人如果知道了有什么长度不能用整数的比数来表示，他们会这么忧愁。埃及人还根本不能把类似的事实当作具有原则意义的事实，他们没有达到这样的数学程度。到了毕达格拉斯时，这些事实的原则上的重要性已经充分地认识到了。这时，对于我们下面要研究的那些问题已经产生了兴趣。从其实用价值的观点来看，这些问题可能被认为是不重要的，但在作为一种科学理论的数学中，却是非常重要和必要的。
　　
　　不应当这样认为：不能直接从某一个科学的事实中得到利益，就只能使这个事实成为理论的财富。理论本身是人类实践活动的产物，对于理论具有价值的东西，从实践这个词最直接的意义上来说，归根到底，对于实践也是重要的。

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