回文数与镜反数的奥秘

我国古代有一种回文诗，倒念顺念都有意思，例如“雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天”。在自然数中也有类似情形，比如1397931就是一个很特殊的七位数，从左向右读与从右向左读竟是完全一样的，这样的数称为“回文数”。人们对回文数的研究，有许多成就，例如，人们认为，回文数中存在无穷多个素数11，101，131，151，191……。除了11以外，所有回文素数的位数都是奇数。道理很简单：如果一个回文素数的位数是偶数，则它的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和必然相等；根据数的整除性理论，容易判断这样的数肯定能被11整除，所以它就不可能是素数。人们借助电子计算机发现，在完全平方数、完全立方数中的回文数，其比例要比一般自然数中回文数所占的比例大得多。例如112=121，222=484，73=343,113=1331……都是回文数。人们迄今未能找到四次方、五次方，以及更高次幂的回文素数。于是数学家们猜想：不存在nk(k≥4;n、k均是自然数)形式的回文数。
　　
　　一、镜反数的定义：在古诗中，我们也常能见到可倒读的诗歌，如“雁过南楼半色秋,‖秋色半楼南过雁”;“回壁四山观落,‖日落观山四壁回”，“客上天然居‖居然天上客”。而在数学中，我们把具有这种对称格式的两个数叫互为镜反数，如492357816‖618753294。我们这里研究的镜反数可以看作是将回文数在中间分成两半得到的。
　　
　　定义1镜反数（mirror-imagenamber），我们把一个n位数N=a1a2…ak-1ak，从右反序写成MI（N）=akak-1…a2a1，则称MI（N）是N的镜反数。如MI（1397）=7931。所有的回文数的镜反数都是它本身。
　　
　　在电子计算器的实践中，还发现了一桩趣事：任何一个自然数与它的镜反数相加，所得的和再与和的镜反数相加，……如此反复进行下去，经过有限次步骤后，最后必定能得到一个回文数。例如：198+891=1089,1089+9801=10890,10890+09801=20691,20691+19602=40293,40293+39204=79497.79497又是一个回文数.是不是所有的自然数都有这个性质呢？不是。例如三位数中的196似乎用上述办法就得不到回文数。有人用计算机对196用上述办法重复十万次，仍然没有得到回文数。但至今还没有人能用数学证明办法对这个问题下结论，所有“196问题”也成了世界性数学难题之一。经过计算，在前十万个自然数中有5996个数就像196一样很难得到回文数。
　　
　　二、镜反数的乘除关系：许多互为镜反数具有乘积关系，如2178×4=8712，1089×9=9801，更有趣的是此数中不论插进多少个9，具有同样的关系，如2199978×4=8799912，1099989×4=9899901。另外像3267×（7/3）=7623，4356×（3/2）=6534是具有乘除关系的镜反数。寻找具有乘除关系的镜反数我们还没有很好的方法。
　　
　　三、平方镜反数：
　　
　　定义2设N=a1a2…ak-1ak，MI（N）=akak-1…a2a1，如果MI(N2)=[MI(N)]2,则称MI（N）是N的平方镜反数，如
　　
　　1221
　　
　　式子的两个镜反数如同镜子反射的象和原象，中间一竖就像有一面镜子一般。即MI(12)=21，MI(122)=441=212，再如，，那么13和31是互为平方镜反数。而11、22是平方镜反数又是平方回文数，因为，。
　　
　　那么，除了以上列举的这些平方镜反数以外，还有哪些平方镜反数？这些平方镜反数到底有哪些共同特征存在？
　　
　　对于任何n位数，都存在平方镜反数。我们归纳如下：
　　
　　1．二位数中共有6个平方镜反数11，12，13，21，22，31。
　　
　　2．三位数中有15个平方镜反数，它们是：101，102，103，111，112，113，121，122，201，202，211，212，221，301，311。
　　
　　我们可以发现如果两式要对称的话，那么它的展开式中的，，，，，都不能进位，也就是说，若，，不是0，1，2，3中的数字。，，任两数相乘大于或等于5，即数字中2，3同时出现。则就不是镜反数，这在我们判断一数是否为镜反数时，可以很快的删掉大部分的数。
　　

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