3.四位数中共有39个平方镜反数。它们是:1001,1002,1003,1011,1012,1013,1021,1022,1031,1101,1102,1103,1111,1112,1113,1121,1122,1201,1202,1211,1212,1301,2001,2002,2011,2012,2021,2022,2101,2102,2111,2121,2201,2202,2211,3001,3011,3101,3111。
5.四位数中共有91个平方镜反数:
10001,10011,10012,10013,10101,10102,10103,10111,10112,10113,10121,11003,11001,11011,11012,11013,11101,11102,11103,11111,11112,11113,11121,11122,11123,12202,13001,20001,20011,20012,20101,20102,20112,20121,20122,21001,21011,21101,21102,22001,22011,22101,30001,30011,31001,31011,10002,10003,10021,10031,10022,10201,10202,10211,10212,10221,10122,11031,11002,11021,11022,11201,11202,12002,11211,12001,12011,12012,12201,12101,12102,12111,13011,20002,20021,20022,20201,20111,20211,20221,21002,21021,21201,21111,22002,22102,22111,30101,30111,31101,31111。
结论1:对于n位自然数(为整数),若是平方镜反数,则必满足下列条件:(1),则;(2),则
我们可以看到这些平方镜反数的数值是由0,1,2,3组成的。我们在上面发现的平方镜反数中间插入任意多个0,都可以得到更高位的镜反数。
四、立方镜反数:自然数中也存在了许多立方镜反数。
定义2设N=a1a2…ak-1ak,MI(N)=akak-1…a2a1,如果MI(N3)=[MI(N)]3,则称MI(N)是N的立方镜反数,如
10111101
10112=10221211212201=11012
10113=10333643311334633301=11013
小于一万的立方镜反数还有4个回文数,它们是113=1331;1013=1030301;10013=1003003001;1113=1367631。这四个数也可以称为立方回文数。
五位数里有5个立方镜反数:10001,10011,11001,11011,10101,4次方的镜反数也有好多,但若n≥5时,则可以证明不存在n方镜反数。
结论2:任何n位数N=(a1a2……an)10,下面的绝对值|N-MI(N)|一定能被999…9(n-1个9)整除。例如472-274=198=99×2。
五、分割镜反数。在三阶幻方中,有两组数,13971和24862,而MI(13971)=17931,MI(24862)=26842,我们把这两对互为镜反数各分割成四个数,它们竟然可以组成和如此美妙的等式:
492
357
816
图1三阶幻方
13+39+97+71=17+79+93+31
132+392+972+712=172+792+932+312
而最令人感到惊奇的是:
133+393+973+713=173+793+933+313
24+48+86+62=26+68+84+42
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