奇妙的再植数_科普之友

尾的几个位数上去。结果为142857×i。
　　
　　证明：因m≡i(mod7),则m=7k+i,142857×m=142857×(7k+i),
　　
　　=(142857×7)k+142857×i
　　
　　=999999k+142857×i
　　
　　=k×+142857×i-k
　　
　　显然式中结果的首几位数为k，末几位数为142857i个位数减去k，将首位数k取下来加到末尾的几位上去，结果为142857i。
　　
　　结论1中，当k≥10时，例如71×142857=10142847，我们首两位数取下来加在末两位数时，有142847+10=142857，可称为两位待合再植数，当k≥100时，如702×142857=100285614，首三位加末三位后得285714。可称为三位待合再植数。当k≥时，称为n+1位待合再植数。当n+1=6时，我们举下列例子：700001×142857=999999142857999999+142857=11428576。
　　
　　1428576+1=142857。显然，在n+1≥6时，我们需要通过首尾两次以上的相合才能还原成再值数。
　　
　　3、再值数的平方数。我们来考察下列再植数的平方数。①1428572=20408122449，但20408+122449=142857。
　　
　　②5714282=326529959184，但326529+959184=1285713，
　　
　　285713+1=285714，
　　
　　③4285712=183673102041，但183673+102041=285714，
　　
　　④8571422=734692408164，有734692+408164=1142856，
　　
　　但142856+1=142857。
　　
　　可见再植数的平方数，表现出一种很奇妙的特征，前6位与后6位的和，又可以重新变成了再植数。
　　
　　现在我们索性来考察一下再植数的立方和四次幂，1428573=2915443148696793；
　　
　　2915+443148+696793=1142856；
　　
　　而142856+1=142857；
　　
　　1428574=416491461，893377，575601，
　　
　　而416+491461+893377+575601=2142855，而142855+2=142857，可以预见，再植数的各次幂，按6位6位相加，最后结果可得再植数。
　　
　　4、再植数与数列，数列1，3，9，27，81，243，729，2187……，是公比为3的等比数列，下面我们进行一种限位叠加法，表示如下：1×105+3×104+9×103+27×102+81×101+243×100+729×10-1+2187×10-2+6561×10-3+19683×10-4+59049×10-5+177147×10-6+……，其结果的整数部分是142857，我们称这种运算为限位叠加法。我们还可用等差数列14，28，56，112，224……，限两位叠加，也可获得再植数142857。
　　
　　以上性质对于其它一些再植数事来说大体上也都是成立的，成立的条件是再植数是一个质数的倒数，且的循环节的长度h达到最大值，这个最大周期为p-1，符合这个条件的质量有7，17，19，23，29，47，59，61，97，109，113，131等，按照国外数学研究者商克斯（Danillshanks）的估计，质数中大约只有符合这个条件。此外，他还证明，循环周期数为偶数的质数恰好比周期数为奇数的质数多一倍。

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