北大附中高一周栋谭思睿
所谓理论保级分数，就是指一般来讲，一个参赛球队只要达到了这个分数，无论别的球队的成绩如何，都能保证自己不会降级。这个分数无疑能给那些成绩不佳的球队的一个有效的参考，帮助他们调整策略。
当然，不仅是我国的足球联赛，其它各个国家的足球联赛，都会有保级分数的问题。
那么这个理论保级分数应该如何计算呢？怎样找到一种普遍适用于各国足球联赛的计算理论保级分数的方法呢？下面，我们建立一个数学模型解决这个问题。
模型建立与分析
要想研究理论保级分数，就必须研究每支球队在每场比赛中的成绩。通过观察各大联赛的比赛情况，我们可以知道，球队的实力对比赛结果有很大的影响。比如，实力差距比较大的两支球队比赛，实力强的一方获胜的希望比较大。所以，如果讨论联赛的积分情况，就不能回避球队实力的差异问题。
但是球队的实力是一个很抽象的事物，不易计算和比较，为了能用数学语言描述它，可以为每个球队引入一个参数，能够较好的描述球队的实力称它为这个球队的实力数，我们可以定义随机变量X为一支球队在某一场比赛中的结果。它可能有三种情况，即胜（积3分）、平（积1分）、负（积0分〕。我们可以统计出每场比赛中两队的胜、平、负的频率（可近似地看成每种情况出现的概率）P，通过公式
求出一支球队在每场比赛中的数学期望 。将所有比赛的数学期望值相加，就可以求出理论上这支球队的最后积分。另外，应该注意到主客场的差异对比赛结果的影响。所以，如果主客场情况不同，相应的胜、负、平频率也不同，数学期望值也就不同。
一、模型假设
1．假设参加某一联赛的所有球队的实力数由小（实力强）到大（实大弱）可构成一个等差数列。并且认为等差数列的首项为1，公差为1。由此，一个联赛中的各个球队可以分别用一个数字代替，即，将所有n支参赛球队按实力由强到弱排列,则依次1,2,3,4，...,n。这样每场比赛就有一个对应的实力数之差。如实力数为3和7的两支球队之间的比赛，实力差是4。
2．假设任何不可预知的因素与比赛结果无关。即比赛结果只与两支球队的实力差和主客场因素有关。如认为球队3主场与球队8的比赛，和球队1主场与球队6的比赛没有任何区别。
3．假设统得出的每个实力差值对应的比胜、负、平的频率等于在理论上这些情况出现的频率。
二、定义变量
 ：一支球队在一场比赛中的数学期望值。
 ：一支球队i在所有比赛中的数学期望值之和。
n:参加联赛的球队总数。
m：联赛结束后将要降级的球队数目。
s：一场比赛中实力较强的球队获胜的概率。
p：一场比赛中实力较强的球队战平的概率。
f：一场比赛中实力较强的球队失败的概率。
解决问题
一、统计随机变量X的分布
我们选取了英格兰足球超级联赛、德国足球甲级联赛、意大利足球甲级联赛、中国的甲级联赛中1999～2000赛季的详细情况，并根据这些数据统计了当实力数差分别为1,2,3,...，19时 [1] [2] [3] 下一页
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