从韦达定理反推一元二次方程判别式 |
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| 来源：不详 更新时间：2012-4-28 11:15:03 |
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作者：学夫子
一元二次方程的重要性不言而喻，我也不多废话。初中生都知道，一元二次方程ax2+bx+c=0的解的个数由其判别式△=b2-4ac决定。这个具体内容我也不废话，应该都知道。今天我们来小小地发散思维，利用韦达定理反推判别式。
现在设方程ax2+bx+c=0的两个解为m和n，那么根据韦达定理有：
m+n=-b/a，mn=c/a
根据我们所学的不等式的内容，我们有下面的不等式成立：
(m+n)²≥4mn
现在将韦达定理的内容带入该式有：
b2/a2≥4c/a
两边同时乘以a2：
b2≥4ac
所以，如果原方程有两个实数根，必须要满足b2≥4ac，也就是我们的△≥0，当且仅当m=n时，b2=4ac。原来，二次方程的判别式的来源，竟是一个我们熟知的不等式！虽然推理过程很简单，不过，这里面融合了韦达定理，二次方程判别式，不等式，岂不快斋？
这个地方要说明的是，虽然在中学课本里，我们推导韦达定理是运用求根公式，但是实际上我们有不用其求根公式的证明方法，所以，这样的反推没有循环论证。况且，就算是有循环论证，作为一个课外的融合，作为一种串联各个知识点的方法，也未尝不可。（来源：学夫子数学博客）
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