面积的一个定义法 |
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| 来源：不详 更新时间：2012-5-22 12:21:34 |
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作者：学夫子
我们或许再也熟悉不过，矩形面积为长宽乘积，三角形面积为底乘高的一半，那么有没有想过，到底什么是面积？这个问题又很多说法，比较靠谱的说法就是，将边长为1的正方形的面积定义为1，由这个定义得出正方形长方形面积，进而得出平行四边形、三角形面积公式等等，包括微积分里面的封闭图形的面积，也是如此。不过，今天我们从另一个角度来看待这个问题，那就是我们从三角形的面积公式说起。
上面的三角形中，AD和BE是三角形两条边上的高，我们可以通过相似三角形的原理得到下面的性质：
三角形的底边与高的乘积是一常数，只与三角形本身有关，而与所选的底边无关。
证明：在直角三角形ADC和BEC中，他们有一个公共角C，所以这两个直角三角形相似，所以有
AC/BC=AD/BE，也就是BC×AD=AC×BE。得证。
由此，我们把这个乘积与某一个常数k的乘积称为三角形的面积。而对于k的取值，我们一旦确定以后就不再变更，那么这个k应该如何取？为此，我们就要做一些规定，k的取值必须使得边长为1的正方形的面积为1.
正方形可以分割成两个直角三角形，S=k+k=1，所以k=1/2.为了使得边长为1的正方形的面积为1。k就应该取1/2.所以我们有了三角形的面积公式：
S=1/2底×高。
有些很简单的问题，当我们从另一个角度思考的时候，往往会有不同的发现。就如同三角形的面积公式一样，又有谁想过：为什么三条底边与高的乘积始终是一致的？（来源：学夫子数学博客）
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