数学中的抽屉原理

象。
　　
　　有些问题要多次应用抽屉原理才能解决。
　　
　　【例7】对任意给的84个互异的正整数，试证其中一定存在四个正整数，仅用减号、乘号和括号将它们适当综合为一个算式，其结果为1992的倍数。
　　
　　提示：1992=83×24
　　
　　证明：由例1可知，在这84个互异的正整数中，至少有两个数被83除的余数相同，不妨设，则：
　　
　　83|（）
　　
　　在这82个互异的正整数中，至少有两数被24除的余数相同，不妨设
　　
　　则24|（）
　　
　　因为（83，24）=1
　　
　　所以，83×24|（）（）
　　
　　即：1992|（）（）
　　
　　则、、、即为所求证存在的四个互异的正整数。
　　
　　【例8】从前30个自然数中最少要（不看这些数而以任意方式）取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小数的倍数？
　　
　　分析与解答：
　　
　　设想有30张分别写1、2、3、…、30的卡片，背面向上放在桌子上，从中任意抽取，如果抽取两张，譬如说可能抽到3，5，它们之间没有倍数关系，但也也许抽到2、4，它们之间就有倍数关系了。看来只抽两张，不能保证出现题设的结果。
　　
　　抽3张呢？如果抽出了4、5、22，那很遗憾。
　　
　　抽4张呢？如果抽出了16、3、7、11，也不成。这样想下去，不容易找出题目所说的“至少取几个数”中的最小数，看来要想个好办法。
　　
　　把前30个自然数分成下列15组：
　　
　　｛1，2，4，8，16｝
　　
　　｛3，6，12，24｝
　　
　　｛5，10，20｝
　　
　　｛7，14，28｝
　　
　　｛9，18｝
　　
　　｛11，22｝
　　
　　｛13，26｝
　　
　　｛15，30｝
　　
　　｛17｝；｛19｝；｛21｝；｛23｝；｛25｝；｛27｝；｛29｝。
　　
　　根据抽屉原则知：任意取出16个数，至少有两个取出的数落入同一个组内，当然是落入前面8组中的某组，这两个数就有倍数关系。这说明任意取出16个数后可以满足题目的要求，所以，从前30个自然数中至少取16个数，就可保证取出的数中有两个数，它们之间有倍数关系。
　　
　　【例9】能否在8行8列的方格表（如图）的每一个空格中分别填上1，2，3这3个数字中的任意一个，使得每行、每列及对角线AC、BD上的各个数字的和互不相等？并对你的结论加以说明。
　　
　　分析与解答：
　　
　　这个问题初看起来似乎与抽屉原则关系不密切，下面我们先看图：图中8行8列及两条对角线共18条“线”，每条线上都填有8个数字，要使各条线上的数字和都不相同，那么每条线上数字和取不同值的可能性必须超过18种。下面我们来看各条线上取不同值的可能情况有多少种。
　　
　　如果一条线上的8个数字都填3，那么数字和最大值24，由于数字和都是整数，所以从8到24共有17种不同的值。我们把数字和的17种不同的值当作17个抽屉，而把18条线分到17个抽屉里，一定有一个抽屉里有两条和两条以上的线，即18条线上的数字和至少有两个是相同的。
　　
　　因此，不可能使18条线上数字和互不相同。
　　
　　【例10】从前25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。
　　
　　证明：把前25个自然数从1开始，连续的几个数为一组，其中最大的数小于最小的数的1.5倍，最少可以分成下面6组：
　　
　　1；
　　
　　2，3；
　　
　　4，5，6；
　　

上一页 [1] [2] [3] 下一页