梅森素数：千年不休的探寻之旅

个结果就被推翻了两个，费尔马使用著名的小费尔马（不是那个更著名的大费尔马定理）证明了卡塔尔迪关于P＝23和37的结论是错误的。
　　
　　不知道下面的事实会不会让你联想到“屋漏偏逢连夜雨”呢？大约一百年后，1738年，欧拉证明了卡塔尔迪的结果中P＝29也是错误的。幸好，欧拉又证明了P＝31的结论是对的。
　　
　　虽然，卡塔尔迪的六个结果“阵亡”了一半，但考虑到他是用手工计算取得结论的，而费尔马和欧拉则是使用了在他们那时最先进的数学知识，避免了许多复杂的计算和因此可能造成的错误，因此我们仍然要对卡塔尔迪致敬。他也由此光荣地占据了第六个和第七个的发现者之位，在他之前的，都是无名氏。
　　

　　卡塔尔迪的成功，说明了整理和预测是正确道路。继他之后，集研究成果大成的，是17世纪法国著名的数学家和修道士马林•梅森（MarinMersenne,1588-1648）。
　　
　　梅森热心于宗教，但更喜爱数学；他是一个交往广泛、热情诚挚的人，更是一座“科学信息交换站”。为什么呢？那时候，学术刊物、国际会议甚至科研机构都还没有诞生。“及时雨”般的梅森是欧洲众多科学家之间联系的桥梁，大家把研究成果寄给他，然后再由他转告给更多的人。费马、笛卡尔等数学家每周在他家聚会，讨论问题，就这样慢慢形成的"梅森学院"，后来有了一个更响亮的名字——法兰西科学院。
　　
　　1644年，梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2P－1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于P＝2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时，2P－1是素数；而对于P等于其他所有小于257的数时，2P－1是合数。这里前7个数（即2，3，5，7，13，17和19）是在前人的工作已经证实的部分。而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分。不过，人们对他的断言深信不疑，连大数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。
　　
　　梅森的工作极大地激发了人们研究2P－1型素数的热情，成为素数研究的一个转折点和里程碑。为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”，并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp=2P－1。如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2P－1型素数）。
　　
　　对梅森素数的验证，需要进行艰巨的计算，即使是"猜测"部分中最小的M31=231－1=2147483647，也是一个10位数。而梅森自己则承认：“一个人，使用一般的验证方法，要检验一个15位或20位的数字是否为素数，即使终生的时间也是不够的。”年迈力衰的他四年之后就去世了，最终并没有任何一个梅森素数的发现权归属于他，但考虑到他已经享有了“冠名权”，就把荣誉分给那些在漫漫长途上跋涉的发现者们吧！
　　
　　那些手扛肩挑的年代
　　
　　手算笔录的时代，每前进一步，都显得格外艰难。1772年，在卡塔尔迪提出近200年之后，瑞士数学家欧拉证明了M31确实是一个素数，这是人们找到的第8个梅森素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数，欧拉也因此成为第二个在发现者名单上留名的人。让人惊叹的是，这是在他双目失明的情况下，靠心算完成的。这种超人般的毅力与技巧让欧拉获得了“数学英雄”的美誉。法国大数学家拉普拉斯（P.Laplace）说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”
　　
　　100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理——鲁卡斯定理，这为梅森素数的研究提供了有力的工具。1883年，数学家波佛辛（Pervushin）利用鲁卡斯定理证明了M61也是素数--这是梅森漏掉了的。梅森还漏掉另外两个素数：M89和M107，它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯（Powers）发现。
　　
　　还记得梅森预测的四个素数吗？其中M31已经为欧拉证明，M127则在鲁卡斯提出定理时顺带证明，虽然中间漏掉了3个，但至少还有另外两个：M67和M257是不是素数呢......
　　
　　M67的证明又是一个精彩的故事。
　　
　　1903年，数学

上一页 [1] [2] [3] [4] [5] 下一页