体的“链群”。这个代数对象跟我们开始的剖分方法有关。
在链群中，可以由求边界运算得到的链叫做“边缘链”，比如，
2AB+2BC+2CA=d(2ABC)
说明等式左边这个链是一个边缘链。没有边界的链叫做“闭链”。边缘链一定是闭链，而闭链不一定是边缘链。庞卡莱发现，“有多少闭链不是边缘链”这个性质与剖分无关，从而是几何体某种本性的代数体现。怎样代数地描述这个性质？考虑所有闭链，它们之间的加减，数乘，结果还是闭链，在其中把边缘链等同于0，这样得到的代数对象将不依赖于剖分几何体的方法，庞卡莱叫它“同调群”。
现在来算球面的同调群。顶点都没有边界，但是两个顶点的差一定是一条边的边界，
A-B=d(BA)
按照庞卡莱的语言，A-B是边缘链，将被等同于0,也就是说，在同调群中A-B=0,或者说A=B.这样，本质上只有一个0维对象，
A=B=C=D,
它可以被整数乘，这样我们得到球面的0维同调群
{…,-3A,-2A,-A,0,A,2A,3A,…}
这个代数对象的加法，数乘，跟全体整数的加法，数乘是一样的，用数学的语言来说，球面的0维同调群“同构于”整数集。
1维的链是六条边的组合，用代数运算（解线性方程组）或者几何直观都可以看到，没有边界的1维链总是由三边形的边界(AB+BC+CA),(BC+CD+DB),(AB+BD+DA)组成，按照庞卡莱的语言，球面上所有的1维闭链都是边缘链，都应该在同调群中等同于0，所以1维同调群是0.
2维的链是四个面的组合，xABC+yABD+zACD+wBCD,它是闭链的条件
d(xABC+yABD+zACD+wBCD)=0.
有兴趣的朋友可以动手算一算上面这个方程，比如第一项
d(xABC)=x(BC–AC+AB)=xBC–xAC+xAB,
然后合并每条边的系数，令它等于零，就得到6个关于x,y,z,w的线性方程。这个方程组的解是x=z=-y=-w.这个结果说明球面上的每个二维闭链都可以写成
w(BCD–ACD+ABD–ABC),
也就是说，总是括号中闭链的整数倍。如果把括号里的闭链叫做s,那么球面的二维同调群就是
{…,-3s,-2s,-s,0,s,2s,3s,…}，
同构于整数集。
综上所述，球面的0维同调群和2维同调群都同构于整数集，1维同调群为0.再引入一个概念，同调群内含有多少个整数集，就说同调群的“秩”是多少。把不同维同调群的“秩”交错加减，即，0维同调群的秩减去1维同调群的秩再加上2维同调群的秩再减去3维同调群的秩……,得到一个整数。在简单例子里稍作计算，就会发现这个整数实际上是0维单形个数减去1维单形个数再加上2维单形个数再减去3维单形个数……，即，各维数单形个数的交错和。这个数大家其实颇为熟悉，在高中立体几何最后应该提到过，叫做“欧拉示性数”，对凸多面体的表面，它就是V–E+F,而且总是等于2.实际上，所有凸多面体的表面在拓扑上都是球面，这个“2”就是球面的各维数同调群的“秩”的交错和，1–0+1=2.
显然，欧拉示性数是最容易计算的拓扑不变量，只需要找一个剖分，然后数数几个顶点几条边几个面......，再加加减减就行了。
同调群告诉我们哪些闭链不是边缘链，通俗一点说，告诉我们几何体里面哪些封闭的对象是“中空”的。它显然是比欧拉示性数更精细的拓扑不变量。有兴趣的朋友可以自己算算两个几何体的同调群：圆圈，轮胎面。（提示：先把它们剖分成单形。）
庞卡莱发现了同调群以后，拿它来区分了一些三维的对象。后来他发现，同调群不够精细。比如，跟三维球面（二维球面的高一维推广）具有相同同调群的几何对象不一定就是三维球面。这促使他寻找更精细的拓扑性质。这次他想到几何体里头还有东西是可以运算的，就是道路。两条道路如果首上一页 [1] [2] [3] 下一页
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