这一节说说从有理数产生新数的另一个途径：从有限到无限。这个概念我们在小学就已经比较熟悉了，就是从有限小数或者循环小数到无限不循环小数的扩张。然而，要说清楚这个概念，我们最好还是从更基本的概念开始，即，什么是整数，什么是小数。
0.人类发明数字之前，整数是通过物件来表示的。这种方法在表示前面一些整数的时候还算方便，但如果数太大了，就很不方便。这就是“进位制”起作用的地方。人类用自己的十个手指头计数，计到十以后，做下标记，表示所有指头都用过一遍了，然后就可以再使用它们继续计数。每用完一次，就做一个标记，而标记的个数同样可以用手指来计，如果超过十个标记，就做一个新类型的标记，这表明所计的数已经超过一百。这就是把一个整数写为十进制数字的过程。下面这个表是把第一行的黑桃代表的整数表示为3-进制数。祖先一直使用十进制，以至于我们离开十进制就无法举出具体例子。现在我暂时采用一种非十进制的数字体系，即以下列方式写出前几百个自然数：
零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、赵、钱、孙、李、周、吴、郑、王、......那么以下这个具体例子说的就是把整数“吕”表示为“叁”-进制数，吕=[壹零壹贰]叁
现在从抽象的角度解释一下把整数表示为拾-进制数字的过程。
1.将一个正整数表示为拾-进制数:
做欧几里得除法:n=n1×拾+b0,要求0≤b0<拾.其中n1称为“商数”而b0称为“余数”。接着对商数应用欧几里得除法,n1=n2×拾+b1.继续这么做下去，直到某一步k,商数满足0<nk<10,如果再做欧几里得除法，nk=0×拾+bk,我们不再得到更多的商数.现在我们把过程中所有的“余数”收集起来，就得到了n的拾-进制展开n=bk...b1b0.用一个复杂的公式来表示以上过程，就是
n=(...((bk×拾+bk-1)×拾+bk-2)×...)×拾+b0=bk×拾k+b k-1×拾k-1+...+b1×拾+b0
2.以上过程可以用来得到正整数的任何m-进制展开,只要在过程中把“拾”换成m.
比如,取拾-进制数112,记为[112]拾,我们想把它展开为6-进制数:为方便起见，我们还是用熟悉的拾-进制数来记录运算过程,112=18×6+4,接着对商数做欧几里得除法18=3×6+0,再做除法3=0×6+3.现在商数为零，过程结束，收集过程中的余数我们得到[112]拾=[304]6
3.从用桃杏梅方表示的那个例子可以看到，石器时代的人类其实已经可以做欧几里得除法了。做欧几里得除法不需要把整数表示为任何进制的数字。现代澳门赌场里的庄家闲家仍然在用这种办法计算筹码个数。
但是为了叙述方便，在接下来的段落里我会尽量使用阿拉伯数字。如果进位单位小于或者等于拾，这就够用了。如果进位单位大于拾，就需要引进阿拉伯数字以外的数字了（本文中使用百家姓）。
分数的情况如何?怎样把分数表示为m-进制数字?我们从小就做了很多这样的练习（当然，基本上都是表示为拾-进制）。考察分数x/y.首先做欧几里得除法x=q×y+r,其中0≤r<y.这样就把x/y分成了整数部分q和小于1的分数r/y.将整数表示为m-进制数字我们之前已经讨论过了。至于r/y,我们的做法是长除法，首先“移位”，即分子乘以m,然后做欧几里得除法r×m=a1×y+b1.显然，为了此等式成立，商数必然满足0≤a1<m.如果余数b1≠0,那么将此余数移[1] [2] [3] [4] 下一页
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