画在这里）
上面这些计算告诉我们，如果要在p-进制循环大数（习惯上用字母p来代表任一素数）和分数之间自由转换，我们需要接受一种奇怪的观念，就是在p-进制下，当k越来越大时，pk越来越接近于0.一旦接受了这种观念，那个看起来怪怪的新式长除法就跟传统长除法类似了，都是坚持“余数比除数离0更近”这个原则。这里应该注意的是，在大数的世界里，“哪个有理数离零更近”这件事，是跟进制单位p有莫大关联的。比如，在3-进制大数体系里，[27]拾比[12]拾离0更近，因为[27]拾含有更多的因子3.而在2-进制大数体系里，[12]拾比[27]拾离0更近，因为[12]拾含有更多的因子2.这跟小数的世界太不一样了，不管用哪个进制的小数表示，1/5都比1/2离0更近，这是因为在小数的世界里，衡量离0远近的是“绝对值”，它不依赖于进制的选取。
我们现在终于可以来解释这一篇的副标题：赋值完备化。所谓“赋值”，就是对每一个有理数规定离0有多远。当然，规定不是任意的，需要满足某些性质，比如，a+b离0的距离不能大于a离0的距离同b离0的距离的和。一个这样的规定就叫一个赋值。“绝对值”就是一个赋值，它规定：正有理数离0的距离就等于这个数本身，负有理数离0的距离等于它的相反数。我们上面看到的跟素数p有关的是另一种赋值，称为p-进制赋值，它规定：有理数离0的距离跟它含有的所有p因子成反比。就是说，如果x/y的分子分母都把p因子完全分解出来，x=pjw,而y=pkz,其中w,z不再含有p因子，这样可以写x/y=pn(w/z)，其中n=j-k.则x/y离0的距离为p-n=1/pn.具体例子：有理数-3/4,它的3-进制赋值为1/3,而2-进制赋值为4,它的其它进制赋值均为1，因为它不含有除2和3以外的其它素因子。（有心的读者可能会观察到，这个数的绝对值为3/4,这样把它的绝对值和所有p-进制赋值全部乘起来，
(3/4)×(1/3)×4×1×1×1×......=1.
很容易看到这个关系对所有的有理数都成立。这说明所有这些赋值之间是有关联的，一个有理数在各个素因子处的表现是互相牵扯在一起的。这个道理虽然看起来很简单，它却有着极其深刻，很可能是至今为止数学中最深刻的推广，就是所谓“朗兰兹纲领”。这些从最简单到最复杂的关于素数之间的关联的命题，都称为“互反律”。）
扯得太远，总结一下。有理数可以用小数展开，展开的结果总是有限或者循环小数，那么包括无限不循环小数在内的所有小数自然就构成有理数的一种推广，它们在“绝对值”这种赋值下有意义，因为越到后来加上来的尾数绝对值减小得越快，所以会“收敛”到某种东西，这种东西就是某个“实数”。所以，实数的定义是不依赖于进制的，因为“绝对值”是不依赖于进制的。有理数又可以用p-进制大数展开，展开的结果总是有限或者循环大数，而包括无限不循环大数在内的所有p-进制大数也是有理数的一种推广，它们在“进制赋值”下有意义，越到前面加上来的大整数的p-进制赋值减小得越快，所以收敛到某种东西，这种东西依赖于进制选取。对每一个素数p,有p-进制赋值，在这种赋值下的有理数扩张称为“p-进制数”。p-进制数之间可以进行加减乘除，它们构成数域。这样，对每一个素数p,存在一个数域，记为Qp,它是实数域的类似物。以p-进制数为自变量和取值的函数也可以做微分和积分。从而，这个世界上存在无数多种微积分，对每一个素数有一种，再加上我们已经熟悉的以绝对值为基础的微积分。最后回忆一下，之所以大数的进制单位必须是素数，是因为只有这样才能做除法。（来源：科学松鼠会）
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