Riemann 猜想漫谈 (二)

三.素数的分布
　　
　　一个复数域上的函数——Riemannζ函数——的非平凡零点(在无歧义的情况下我们有时将简称其为零点)的分布怎么会与看似风马牛不相及的自然数域中的素数分布产生关联呢？这还得从所谓的Euler乘积公式谈起。
　　
　　我们知道，早在古希腊时期，Euclid就用精彩的反证法证明了素数有无穷多个。随着数论研究的深入，人们很自然地对素数在自然数域上的分布产生了越来越浓厚的兴趣。1737年，著名瑞士数学家LeonhardEuler(1707-1783)在俄国圣彼得堡科学院(St.PetersburgAcademy)发表了一个极为重要的公式，为数学家们研究素数分布的规律奠定了基础。这个公式就是Euler乘积公式，即：
　　
　　Σnn-s=Πp(1-p-s)-1
　　
　　这个公式左边的求和对所有的自然数进行，右边的连乘积则对所有的素数进行。可以证明(参阅附录一)，这个公式对所有Re(s)>1的复数s都成立。读者们想必认出来了，这个公式的左边正是我们在上文中介绍过的Riemannζ函数在Re(s)>1时的级数表达式，而它的右边则是一个纯粹有关素数(且包含所有素数)的表达式，这样的形式正是Riemannζ函数与素数分布之间存在关联的征兆。那么这个公式究竟蕴涵着有关素数分布的什么样的信息呢？Riemannζ函数的零点又是如何出现在这种关联之中的呢？这就是本节及未来几节所要介绍的内容。
　　
　　Euler本人率先对这个公式所蕴涵的信息进行了研究。他注意到在s=1的时候，公式的左边Σnn-1是一个发散级数(这是一个著名的发散级数，称为调和级数)，这个级数以对数方式发散。这些对于Euler来说都是不陌生的。为了处理公式右边的连乘积，他对公式两边同时取了对数，于是连乘积就变成了求和，由此他得到：
　　
　　ln(Σnn-1)=-Σpln(1-p-1)=Σp(p-1+p-2/2+p-3/3+......)
　　
　　由于上式右端括号中除第一项外所有其它各项的求和都收敛，而且那些求和的结果累加在一起仍然收敛(有兴趣的读者不妨自己证明一下)。因此右边只有第一项的求和是发散的。由此Euler得到了这样一个有趣的渐近表达式：
　　
　　Σpp-1~ln(Σnn-1)~lnln(∞)
　　
　　或者，更确切地说：
　　
　　Σp<Np-1~lnln(N)
　　
　　这个结果——即Σpp-1以lnln(N)的方式发散——是继Euclid证明素数有无穷多个以来有关素数的又一个重要的研究结果。它同时也是对素数有无穷多个这一命题的一种崭新的证明(因为假如素数只有有限多个，则求和就只有有限多项，不可能发散)。但Euler的这一新证明所包含的内容要远远多于Euclid的证明，因为它表明素数不仅有无穷多个，而且其分布要比许多同样也包含无穷多个元素的序列——比如n2序列——密集得多(因为后者的倒数之和收敛)。不仅如此，如果我们进一步注意到上式的右端可以改写为一个积分表达式：
　　
　　lnln(N)~∫x-1ln-1(x)dx
　　
　　而左端通过引进一个素数分布的密度函数ρ(x)——它给出在x附近单位区间内发现素数的几率——也可以改写为一个积分表达式：
　　
　　Σp<Np-1~∫x-1ρ(x)dx
　　
　　将这两个积分表达式进行比较，不难猜测到素数的分布密度为ρ(x)~1/ln(x)，从而在x以内的素数个数——通常用π(x)表示——为：
　　
　　π(x)~Li(x)
　　
　　其中Li(x)≡∫ln-1(x)dx是对数积分函数(logarithmicintegralfunction)[注一]。这个结果有些读者可能也认出来了，它正是著名的素数定理(primenumbertheorem)——当然这种粗略的推理并不构成对素数定理的证明。因此Euler发现的这个结果可以说是一扇通向素数定理的暗门。可惜Euler本人并没有沿着这样的思路走，从而错过了这扇暗门，数学家们提出素数定理的时间也因此而延后了几十年。
　　
　　提出素数定理的荣誉最终落到了另外两位数学家的肩上：他们是德国数学家FriedrichGauss(1777-1

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