作者：佚名
在上节中我们看到，素数的分布与Riemannζ函数之间存在着深刻关联。这一关联的核心就是J(x)的积分表达式。由于Riemannζ函数具有极为复杂的性质，这一积分同样也是极为复杂的。为了对这一积分做进一步的研究，Riemann引进了一个辅助函数ξ(s)[注一]：
ξ(s)=Γ(s/2+1)(s-1)π-s/2ζ(s)
引进这样一个辅助函数有什么好处呢？首先，由上式定义的辅助函数可以被证明为是整函数(entirefunction)，即在复平面上所有s≠∞的点上都解析的函数。这样的函数在性质上要比Riemannζ函数简单得多，处理起来也容易得多。事实上，在所有非平庸的复变函数中，整函数是解析区域最为宽广的(解析区域比它更大，即包括s=∞，的函数只有一种，那就是常数函数)。这是引进ξ(s)的好处之一。
其次，利用这一辅助函数，我们在第二节中提到过的Riemannζ函数所满足的代数关系式ζ(s)=2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)可以表述为一个对于s与1-s对称的简单形式：
ξ(s)=ξ(1-s)
这是引进ξ(s)的好处之二。
此外，从ξ(s)的定义中不难看到，ξ(s)的零点必定是ζ(s)的零点[注二]。另一方面，ζ(s)的零点除了平凡零点s=-2n(n为自然数)由于恰好是Γ(s/2+1)的极点，因而不是ξ(s)的零点外，其余全都是ξ(s)的零点，因此ξ(s)的零点与Riemannζ函数的非平凡零点相重合。换句话说，ξ(s)将Riemannζ函数的非平凡零点从全体零点中分离了出来。这是引进ξ(s)的好处之三。
在进一步介绍Riemann的论文之前，让我们先提一下Riemannζ函数的一个简单性质，即ζ(s)在Re(s)>1的区域内没有零点(证明参阅附录一)。没有零点当然就更没有非平凡零点，而后者跟ξ(s)的零点是重合的，因此上述性质表明ξ(s)在Re(s)>1的区域内也没有零点；又由于ξ(s)=ξ(1-s)，因此ξ(s)在Re(s)<0的区域内也没有零点。这表明ξ(s)的所有零点——从而也就是Riemannζ函数的所有非平凡零点——都位于0≤Re(s)≤1的区域内。由此我们得到了一个有关Riemannζ函数零点分布的重要结果，那就是：Riemannζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上0≤Re(s)≤1的区域内。这一结果虽然离Riemann猜想要求的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上还相距甚远，但起码也算是万里长征的第一步。
好了，现在回到Riemann的论文中来。引进了ξ(s)之后，Riemann便用ξ(s)的零点对lnξ(s)进行了分解：
lnξ(s)=lnξ(0)+Σρln(1-s/ρ)
其中ρ为ξ(s)的零点(也就是Riemannζ函数的非平凡零点——这些家伙终于出场了！)。分解式中的求和对所有的ρ进行，并且是以先将ρ与1-ρ配对的方式进行的(由于ξ(s)=ξ(1-s)，因此零点总是以ρ与1-ρ成对的方式出现的)。这一点很重要，因为上述级数是条件收敛的，但是在将ρ与1-ρ配对之后则是绝对收敛的。这一分解式也可以写成等价的连乘积关系式：
ξ(s)=ξ(0)Πρ(1-s/ρ)
这样的连乘积关系式对于有限多项式来说是显而易见的(只要满足ξ(0)≠0这一条件即可)，但对于无穷乘积来说却绝非一目了然，它有赖于ξ(s)是整函数这一事实，其完整证明直到三十四年后的1893年才由Hadamard在对整函数的无穷乘积表达式进行系统研究时给出。Hadamard对这一关系式的证明是Riemann的论文发表之后这一领域内第一个重要进展[注三]。
很明显，上述级数分解式的收敛与否与ξ(s)的零点分布有着密切的关系。为此Riemann研究了ξ(s)的零点分布，并由此而提出了三个重要命题：
1.在0<Im(s)<T的区间内，ξ(s)的零点数目约为(T/2π)ln(T/2π)-(T/2π)。
2.在0<Im(s)<T的区间内，ξ(s)的位于Re(
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