Riemann 猜想漫谈(四)

s)=1/2的直线上的零点数目也约为(T/2π)ln(T/2π)-(T/2π)。
　　
　　3.ξ(s)的所有零点都位于Re(s)=1/2的直线上。
　　
　　在这三个命题之中，第一个命题是证明级数分解式的收敛性所需要用到的(不过Riemann建立在这一命题基础上的说明——如我们在[注三]中所评述的——因过于简略而不足以构成证明)。对于这个命题Riemann的证明是指出在0<Im(s)<T的区间内ξ(s)的零点数目可以由dξ(s)/2πiξ(s)沿矩形区域{0<Re(s)<1,0<Im(s)<T}的边界作围道积分得到。在Riemann看来，这点小小的积分算不上什么，因此他直接写下了结果(即命题一)。Riemann并且给出了该结果的相对误差为1/T。但Riemann显然大大高估了他的读者的水平，因为直到四十六年后的1905年，他所写下的这一结果才由德国数学家HansvonMangoldt(1854–1925)所证明(这一结果因此而被称为了Riemann-vonMangoldt公式，它除了补全Riemann论文中的一个小小证明外，也确立了Riemannζ函数的非平凡零点有无穷多个)。
　　
　　不过Riemann留给读者们的这点智力挫折与他那第二个命题相比却又是小巫见大巫了。将Riemann的第二个命题与前一个命题相比较可以看出，这第二个命题实际上是表明ξ(s)的几乎所有零点——从而也就是Riemannζ函数的几乎所有非平凡零点——都位于Re(s)=1/2的直线上。这是一个令人吃惊的命题，因为它比迄今为止——也就是Riemann的论文发表一个半世纪以来——人们在研究Riemann猜想上取得的所有结果都要强得多！而且Riemann在叙述这一命题时所用的语气是完全确定的，这似乎表明，当他写下这一命题时，他认为自己对此已经有了证明。可惜的是，他完全没有提及证明的细节，因此他究竟是怎么证明这一命题的？他的证明究竟是正确的还是错误的？我们就全都无从知晓了。除了1859年的论文外，Riemann还曾在一封信件中提到过这一命题，他说这一命题可以从对ξ函数的一种新的表达式中得到，但他还没有将之简化到可以发表的程度。这就是后人从Riemann留下的片言只语中得到的有关这一命题的全部信息。
　　
　　Riemann的这三个命题就像是三座渐次升高的山峰，一座比一座巍峨，攀登起来一座比一座困难。他的第一个命题让数学界等待了四十六年；他的第二个命题已经让数学界等待了超过一个半世纪；而他的第三个命题读者想必都看出来了，正是大名鼎鼎的Riemann猜想！它要让大家等待多久呢？没有人知道。但据说著名的德国数学家DavidHilbert(1862-1943)有一次曾被人问到如果他能在500年后重返人间，他最想问的问题是什么？Hilbert回答说他最想问的就是：是否已经有人解决了Riemann猜想[注四]？
　　
　　正所谓山雨欲来风满楼，一直游刃有余、惯常在谈笑间让定理灰飞烟灭的Riemann到了表述这第三个命题——也就是Riemann猜想——的时候，也终于一改举重若轻的风格，用起了像“非常可能”这样的不确定语气。Riemann并且写道：“我们当然希望对此能有一个严格的证明，但是在经过了一些快速而徒劳的尝试之后，我已经把对这种证明的寻找放在了一边，因为它对于我所研究的直接目标不是必须的”。Riemann把证明放在了一边，整个数学界的心弦却被提了起来，直到今天还提得紧紧的。Riemann猜想的成立与否对于Riemann的“直接目标”——即证明lnξ(s)的级数分解式的收敛性——的确不是必须的(因为那只要上述第一个命题就足够了)，但对于今天的数学界来说却是至关重要的。粗略的统计表明，在当今的数学文献中已经有超过一千条数学命题或“定理”以Riemann猜想(或其推广形式)的成立作为前提。Riemann猜想的命运与提出这些命题或“定理”的所有数学家们的“直接目标”息息相关，并通过那些命题或“定理”而与数学的许多分支有着千丝万缕的联系。另一方面，Riemann对于Riemann猜想的表述方式也从一个侧面表明Riemann对于自己写下的命题是属于猜测性的还是肯定性的是加以区分的。因此他对于那些没有注明是猜测性的命题——包括迄今无人能够证明的上述第二个命题——应该是有所证明的(尽管由于他省略了证明，我们无从知道那些证明是否正确)。
　　
　　现在让我们回到对J(x)的计算上来。利用ξ(s)的定义及其分解式，可以将lnζ(s)表示为：
　　
　　lnζ

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