Riemann 猜想漫谈(五)

，Hermite对Stieljes的声明深信不疑。
　　
　　但无论Hermite如何催促，Stieljes始终没有公布他的完整证明。一转眼五年过去了，Hermite对Stieljes依然“痴心不改”，他决定向对方“诱之以利”。在Hermite的提议下，法国科学院将1890年数学大奖的主题设为“确定小于给定数值的素数个数”。这个主题读者们想必有似曾相识的感觉，是的，它跟我们前面刚刚介绍过的Riemann那篇论文的题目十分相似。事实上，该次大奖的目的就是征集对Riemann那篇论文中提及过却未予证明的某些命题的证明(这一点明确写入了征稿要求之中)。至于那命题本身，则既可以是Riemann猜想，也可以是其它命题，只要其证明有助于“确定小于给定数值的素数个数”即可。在如此灵活的要求下，不仅证明Riemann猜想可以获奖，就是证明比Riemann猜想弱得多的结果——比如素数定理——也可以获奖。在Hermite看来，这个数学大奖将毫无悬念地落到Stieljes的腰包里，因为即便Stieljes对Riemann猜想的证明仍然“太复杂，需要简化”，他依然能通过发表部分结果或较弱的结果而领取大奖。
　　
　　可惜直至大奖截止日期终了，Stieljes依然毫无动静。
　　
　　但Hermite也并未完全失望，因为他的学生Hadamard提交了一篇论文，领走了大奖——肥水总算没有流入外人田。Hadamard获奖论文的主要内容正是我们在上节中提到过的对Riemann论文中辅助函数ξ(s)的连乘积表达式的证明。这一证明虽然不仅不能证明Riemann猜想，甚至离素数定理的证明也还有一段距离，却仍是一个足可获得大奖的进展。几年之后，Hadamard再接再励，终于一举证明了素数定理。Hermite放出去的这根长线虽未能如愿钓到Stieljes和Riemann猜想，却错钓上了Hadamard和素数定理，斩获亦是颇为丰厚(素数定理的证明在当时其实比Riemann猜想的证明更令数学界期待)。
　　
　　那么Stieljes呢？没听过这个名字的读者可能会觉得他是一个浮夸无为的家伙，事实却不然。Stieljes在分析与数论的许多方面都做出过重要贡献。他在连分数方面的研究为他赢得了“连分数分析之父”的美誉；挂着他名字的Riemann–Stieltjes积分(Riemann–Stieltjesintegral)更是将他与Riemann的大名联系在了一起(不过两人之间并无实际联系——Riemann去世时Stieljes才十岁)。但他那份Hardy明信片式的有关Riemann猜想的声明却终究没能为他赢得永久的悬念。现在数学家们普遍认为Stieljes所宣称的关于M(N)=O(N1/2)的证明即便有也是错误的。不仅如此，就连命题M(N)=O(N1/2)本身的成立也已受到了越来越多的怀疑[注一]。
　　
　　七.从零点分布到素数定理
　　
　　素数定理自Gauss与Legendre以经验公式的形式提出(详见第三节)以来，许多数学家对此做过研究。其中一个比较重要的结果是由俄国数学家PafnutyChebyshev(1821-1894)做出的。早在1850年，Chebyshev就证明了对于足够大的x，素数分布π(x)与素数定理给出的分布Li(x)之间的相对误差不会超过11%[注二]。
　　
　　但在Riemann1859年的研究以前，数学家们对素数分布的研究主要局限在实分析手段上。从这个意义上讲，即使撇开具体的结果不论，Riemann建立在复变函数之上的研究仅就其方法而言，也是对素数分布研究的重大突破。这一方法上的突破为素数定理的最终证明铺平了道路[注三]。
　　
　　在第五节的末尾我们曾经提到，Riemann对素数分布的研究之所以没能直接导致素数定理的证明，是因为人们对Riemannζ函数非平凡零点的分布还知道得太少。那么，为了证明素数定理，我们起码要知道多少有关Riemannζ函数非平凡零点分布的信息呢？这一问题的答案到了1895年随着vonMangoldt对Riemann论文的深入研究而变得明朗起来。vonMangoldt的研究我们在第五节中已经提到过，正是他证明了Riemann关于J(x)的公式。但vonMangoldt那项研究的价值比仅仅证明Riemann关于J(x)的公式要深远得多。
　　
　　vonMangoldt在研究中使用了一个比Riemann的J(x)更简单有效的辅助函数Ψ(x)，它的定义为：
　　

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