Riemann 猜想漫谈(五)

　　Ψ(x)=Σn<xΛ(n)
　　
　　其中Λ(n)被称为vonMangoldt函数，它对于n=pk(p为素数，k为自然数)取值为ln(p)；对于其它n取值为0。运用Ψ(x)，vonMangoldt证明了一个本质上与Riemann关于J(x)的公式相等价的公式：
　　
　　Ψ(x)=x-Σρ(xρ/ρ)-(1/2)ln(1-x-2)-ln(2π)
　　
　　其中有关ρ的求和与Riemann的J(x)中的求和一样，也是先将ρ与1-ρ配对，再依Im(ρ)从小到大的顺序进行。
　　
　　很明显，vonMangoldt的Ψ(x)表达式比Riemann的J(x)简单多了。时至今日，Ψ(x)在解析数论的研究中差不多已完全取代了Riemann的J(x)。引进Ψ(x)的另一个重大好处是早在几年前，上文提到的Chebyshev就已经证明了素数定理π(x)~Li(x)等价于Ψ(x)~x(为了纪念Chebyshev的贡献，vonMangoldt函数也被称为第二Chebyshev函数)。
　　
　　将这一点与vonMangoldt有关Ψ(x)的那个本质上与Riemann关于J(x)的公式相等价的公式联系在一起，不难看到素数定理成立的条件是limx→∞Σρ(xρ-1/ρ)=0。这一条件启示我们考虑xρ-1在x→∞时趋于零的情形。而要让xρ-1在x→∞时趋于零，Re(ρ)必须小于1。换句话说Riemannζ函数在直线Re(s)=1上必须没有非平凡零点。这就是我们为证明素数定理而必须知道的有关Riemannζ函数非平凡零点分布的信息[注四]。由于Riemannζ函数的非平凡零点是以ρ与1-ρ成对的方式出现的，因此这一信息等价于0<Re(ρ)<1。
　　
　　读者们大概还记得，在第五节中我们曾经提到过(证明参阅附录一)，Riemannζ函数的所有非平凡零点都位于0≤Re(s)≤1的区域内。因此为了证明素数定理，我们所需知道的有关Riemannζ函数非平凡零点分布的信息要比我们已知的(也是当时数学家们已知的)略多一些(但仍大大少于Riemann猜想所要求的)。这样，在经过了Chebyshev、Riemann、Hadamard和vonMangoldt等人的卓越努力之后，我们离素数定理的证明终于只剩下了最后一小步：即把已知的零点分布规律中那个小小的等号去掉[注五]。这一小步虽也绝非轻而易举，却已难不住在Riemann峰上攀登了三十几个年头，为素数定理完整证明的到来等待了一个世纪的数学家们。vonMangoldt的结果发表后的第二年(即1896年)，Hadamard与Vallée-Poussin就几乎同时独立地给出了对这最后一小步的证明，从而完成了自Gauss以来数学界的一个重大心愿。那时Stieljes已经去世两年了[注六]。
　　
　　经过素数定理的证明，人们对于Riemannζ函数非平凡零点分布的了解又推进了一步，那就是证明了Riemannζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上0<Re(s)<1的区域内。在Riemann猜想的研究中数学家们把这个区域称为临界带(criticalstrip)。
　　
　　素数定理的证明——尤其是以一种与Riemann的论文如此密切相关的方式所实现的证明——让数学界把更多的注意力放到了Riemann猜想上来。四年后(即1900年)的一个夏日，两百多位当时最杰出的数学家会聚到了巴黎，一位38岁的德国数学家走上了讲台，作了一次永载数学史册的伟大演讲。演讲的题目叫做“数学问题”，演讲者的名字叫做DavidHilbert(1862-1943)，他恰好来自Gauss与Riemann的学术故乡——群星璀灿的Göttingen大学。他是Göttingen数学精神的伟大继承者，一位与Gauss及Riemann齐名的数学巨匠。Hilbert在演讲稿中列出了二十三个对后世产生深远影响的数学问题，Riemann猜想被列为其中第八个问题的一部分，从此成为整个数学界瞩目的难题之一。
　　
　　二十世纪的数学大幕在Hilbert的演讲声中徐徐拉开，Riemann猜想也迎来了一段新的百年征程。
　　
　　注释
　　
　　1.这是因为比M(N)=O(N1/2)稍强、被称为Mertens猜想(Mertensconjecture)的命题：M(N)<N1/2已于1985年被AndrewOdlyzk

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