Riemann 猜想漫谈(五) |
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| 来源：不详 更新时间：2012-9-21 16:16:36 |
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o(1949-)与HermanteRiele(1947-)所否证。受此影响，目前数学家们倾向于认为M(N)=O(N1/2)也并不成立，不过到目前为止还没人能够证明(或否证)这一点。
2.比这更早一些，Chebyshev还证明了：如果limx→∞{π(x)/[x/ln(x)]}存在，它必定等于1。Chebyshev的研究对于Riemann的研究及后来人们对素数定理的证明都有影响。
3.复变函数方法在证明素数定理中所起的作用是如此之巨大，以至于一度有人认为素数定理不存在初等证明(elementaryproof)——即不用复变函数方法的证明。不过这一点在1949年被挪威数学家AtleSelberg(1917-2007)与匈牙利数学家PaulErdős(1913-1996)所推翻，他们找到了素数定理的初等证明。在他们之后，更多的初等证明被陆续发现。
4.不过由于所处理的是无穷级数，对这一点的严格证明并不是轻而易举的。
5.这也正是我们在第五节中提到的Riemann在计算J(x)的过程中对与零点有关的级数的单项进行积分时隐含(或者说遗漏)的条件。
6.但即便如此，Hadamard在发表他的结果时仍谦虚地表示，他之所以发表有关Riemannζ函数在Re(s)=1上没有零点的证明，是因为Stieljes有关半平面Re(s)>1/2上没有零点的证明尚未发表，并且那一证明可能要困难得多。
来源：科学松鼠会
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