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利用杠杆原理证明三角形的三线共点
来源：不详       更新时间：2012-9-27 11:10:53
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在《三角形重心原理和杠杆原理》一文，说了点数学结论里面的物理原理，数理本就一家，今天我们再来一次这样的探讨。我们用杠杆原理证明三角形里著名的三线共点。不过并不打算一个一个证明，因为所有的三线共点都可以归结为著名的塞瓦定理，只要我们能证明塞瓦定理，所有的三线共点都只是其中的一种特殊情况而已，这一点我在《三角形的那些三线共点的证明》一文里已经很详细阐述。
　　
　　先看今天的主角——杠杆原理：
　　
　　质点组的重心在两质点的连线上，且到两质点的距离与这两点的质量成反比。用图形话的语言来说就是：
　　
　　如果O点是G和M的平衡点，G点和H点的质量为G何H，他们到平衡点的距离为m和n，则一定有Gm=Hn。反之，若O点的位置满足Gm=Hn。则O点一定是G和H的平衡点。
　　
　　今天就是要用杠杆原理来证明塞瓦定理，当然首先要知道什么是塞瓦定理。
　　
　　塞瓦定理：
　　
　　在△ABC中，过三顶点向对边做线段，AX、BY、CZ，则这三条线段交于一点的充要条件是：
　　
　　看这结论多漂亮！我们如今用杠杆原理来证明
　　
　　证明：设BX=a，XC=b，CY=c，YA=d，AZ=e，ZB=f。在B点放置质量为a的质点，C点放置质量为b的质点，A点放置质量为bd/c的质点，至于为什么要这样放，看下图就知道：
　　
　　之所以这样放，就是因为这时候B点和C点的重心就在X点（因为满足杠杆原理），A点和C点的重心就是Y点。因此，质点组(A,B,C)的重心一定在直线AX上,又在BY上，也就必然是AX和BY的交点了，如果我们能证明该质点组的重心还在CZ上的话，那就说明CZ过AX和BY的交点了，因为一个质点组的重心只有一个，从而证明了AX，BY和CZ共点。而依据条件：
　　
　　这样就证明了塞瓦定理。我们可以依照类似的方法证明必要性，在这里我就忽略了。有了塞瓦定理，那么三角形的那些三线共点就都可以得到证明。（来源：学夫子数学博客）

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