Riemann 猜想漫谈 (十一)

当下二话不说就把Montgomery拽到了Dyson跟前(谢谢Chowla！)。
　　
　　就这样Dyson和Montgomery攀谈了起来。遵循着此类谈话的固有模式，年长的Dyson问起了年轻的Montgomery最近在研究什么？Montgomery就把自己对Riemannζ函数非平凡零点分布的研究叙述了一下。Dyson礼貌地听着，他对这一领域并不熟悉。连本领域的顶尖高手Selberg都未曾发表具体看法，Montgomery也并不指望对一个物理学家的这番泛泛介绍会得到比礼貌地点点头更多的回应。
　　
　　但当他介绍到自己所猜测的密度函数ρ(t)=1-[sin(πt)/πt]2(详见第十六节)时，Dyson的眼睛猛地睁大了！
　　
　　因为这个让Montgomery找不到北，甚至连Selberg也看不出端倪来的密度函数对Dyson来说却一点也不陌生，那是所谓的随机厄密矩阵(randomHermitianmatrices)本征值的对关联函数。物理学家们研究这类东西已经有二十年了！
　　
　　而且Dyson本人也早在十年前就系统地研究过随机矩阵理论，是这一领域公认的先驱者之一。即使找遍整个世界，也不可能找到一个比Dyson更合适的人来和Montgomery共喝那杯下午茶了。他们的相遇本身就是一个幸运的奇迹[注一]。
　　
　　十八.随机矩阵理论
　　
　　身为理论物理学家的Dyson如何会研究起随机矩阵理论来的呢？这当然还得从物理学说起。
　　
　　我们知道，在物理学上可以严格求解的问题是少之又少的。而且物理理论越发展，可以严格求解的问题就越少。举个例子来说，在Newton引力理论中二体问题可以严格求解，但一般的三体问题就不行[注二]；到了广义相对论中连一般的二体问题也解不出了，只有单体问题还可以严格求解；而到了量子场论中更是连单体问题也解不成了(因为根本就不存在单体问题了)。
　　
　　另一方面，现实物理中的体系却往往既不是单体，也不是二体或三体，而是多体。这“多”字少则十几、几十(比如大一点的原子、分子)，多则1023(千万亿亿)或更多(比如宏观体系)。很明显，对现实物理体系的研究离不开各种各样的近似方法。这其中很重要的一类近似方法就是统计方法，由此形成了物理学的一个重要分支：统计物理(statisticalphysics)。
　　
　　在统计物理中，人们不再着眼于对物理体系的微观状态进行细致描述(因为这种细致描述不仅无法做到，而且对于确定体系的宏观行为来说是完全不必要的)，取而代之的是“系综”(ensemble)的概念。所谓“系综”，指的是满足一定宏观约束条件的大量全同体系的集合，这些体系的微观状态各不相同，但满足一定的统计分布，而我们感兴趣的体系的宏观状态则由相应的物理量在这些体系上的平均值——即所谓的系综平均值——所给出。
　　
　　在传统的统计物理中，组成系综的那些全同体系具有相同的哈密顿量(Hamiltonian)[注三]，只有它们的微观状态才是随机的。但随着研究的深入，物理学家们开始接触到一些连这种方法也无法处理的物理体系，其中一个典型的例子就是由大量质子和中子组成的原子核。这种体系的相互作用具备了所有可以想象得到的“坏品质”(比如耦合常数很大，不是二体相互作用，不是有心相互作用，等等)，简直可以说是“五毒俱全”。对于这种体系，我们甚至连它的哈密顿量是什么都无法确定。这样的体系该如何处理呢？很显然还是离不开统计的方法，离不开系综的概念。只不过以前在系综中哈密顿量是已知的，只有各体系的微观状态是随机的，现在却连哈密顿量也不知道了。既然如此，那就“一不做、二不休”，干脆把哈密顿量也一并随机化了。由于在量子理论中哈密顿量可以用矩阵来表示，因此这种带有随机哈密顿量的系综可以用随机矩阵理论(randommatrixtheory)来描述。这一点最早是由美籍匈牙利数学及物理学家EugeneWigner(1902-1995)于1951年提出的[注四]。
　　
　　当然，把哈密顿量随机化不等于说对哈密顿量的结构就没有任何限制了。二十世纪六十年代初，与Montgomery在茶室里偶遇的这位Dyson对随机矩阵理论进行了深入研究，并在1962年一连发表了五篇非常漂亮的论文。这些论文在随机矩阵理论的发展史上具有奠基性的作用。在这些论文中，Dyson证明了由随机矩阵理论所描述的物理体系可以按照其在时间反演变换T的作用下的变换性质，而分为三

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