Riemann 猜想漫谈 (十一)

学上比较容易处理的(不要小看这样的理由，当问题复杂到一定程度时，这种理由有时侯是最具有压倒性的)；稍为深刻一点的回答则是：Gauss型分布在固定的|H|2系综平均值及标准差下具有最大的熵，换句话说它所描述的是在一定的约束之下具有最大随机性的体系；但最深刻的回答却是：我们其实并不需要特意选择Gauss型分布！随机矩阵理论的一个非常引人注目的特点便是：在矩阵阶数N→∞的极限下它的本征值分布具有普适性(即不依赖于哈密顿量的特定分布)。正是这种普适性使得随机矩阵理论在从复杂量子体系的能级分布到无序介质中的波动现象，从神经网络系统到量子混沌，从Nc→∞的QCD到二维量子引力的极为广阔的领域中都得到了应用。
　　
　　但即便把随机矩阵理论在所有这些不同尺度、不同维度、不同领域中的应用加在一起，似乎也不如它与Riemannζ函数非平凡零点分布之间的关联来得神奇。Montgomery曾经为不知道自己的结果预示着什么而苦恼，现在他知道了那样的结果也出现在由随机矩阵理论所描述的一系列物理现象之中。
　　
　　但这是解惑吗？这与其说是解惑，不如说是一种更大的困惑。像Riemannζ函数非平凡零点分布这样最纯粹的数学性质，怎么会与像复杂量子体系、无序介质、神经网络之类的最现实的物理现象扯上关系呢？这种神奇的关联本身又预示着什么呢？
　　
　　注释
　　
　　1.有意思的是，在与Montgomery的这次“茶室邂逅”的前一年(即1972年)，Dyson刚刚写过一篇题为“MissedOpportunity”(“错过的机会”)的文章，叙述了科学史上由于数学家与物理学家之间的交流不够而错失发现的一些事例。
　　
　　2.这里的“单体”、“二体”、“三体”等指的都是点状分布或可视为点状分布的体系。
　　
　　3.哈密顿量是决定体系动力学行为的一个很重要的物理量。在量子理论中，体系的能级由哈密顿量的本征值所决定。
　　
　　4.当然，在随机矩阵本身的提出上，数学家还是要先于物理学家。随机矩阵在数学上最早是1928年由苏格兰统计学家JohnWishart(1898-1956)提出的。（来源：科学松鼠会）

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