余弦定理的前世

作者：学夫子
　　
　　如果要算起最古老的数学定理，那自是勾股定理——远在几千年前的巴比伦时期就已经存在；要算起证明方法最多的数学定理，那也是勾股定理——有四五百种方法，爱因斯坦，美国总统这些人都参与进来。今日让我们简单回味一下勾股定理的前世今生，对这伟大的数学定理重新瞻仰。
　　
　　勾股定理的最早记录，来自美索不达米亚时期的数学泥版。在一块泥版上，刻着“构成直角三角形的各边长”，比如（3,4,5），（5,12,13）等，这大概是最早的毕达哥拉斯数组的最早记录，虽然其远在毕达哥拉斯之前。不过，巴比伦人并没有将之写成统一的数学形式，他们只是将这些数组列成表格，方便计算。很显然，这个时期的数学都是为了解决实际问题。而且严格来说，巴比伦人也没有发现真正的勾股定理，但这作为勾股定理的雏形是绝对有道理的，因为毕达哥拉斯本人都很有可能是从巴比伦人那里学到了勾股定理。
　　
　　这事一下子就得跳到古希腊时期，正如我们所知道的，由毕氏学派发现了勾股定理的一般形式。勾股定理在西方也就被冠以“毕达哥拉斯定理”的称号，在中国，最早记录勾股定理的文献，应该是《周髀算经》。不管怎么说，勾股定理的形式也就完全确定下来，至此以后就再也没有变过。但对其不断的证明和探索却没有停止，直到现在依然如此——爱因斯坦就是因为他独立证明出了勾股定理，产生出了对数学的兴趣，由此走上科学之路，有不明真相的童鞋据此写下这样一个等式：E=Mc2=M(a2+b2)。
　　
　　与我们知道的不同，古时的勾股定理并非如我们现在的形式——两直角边平方和等于斜边的平方。古希腊人对几何的崇拜，使得勾股定理的描述形式在很长一段时间里都是几何语言——两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。所以有后人对其表述形式作出了推广，比如将正方形改成三个相似图形。
　　
　　由于勾股定理作用在直角三角形中如此有效，人们自然会想到一般的三角形会不会由此类似的结论，对余弦定理的探讨由此展开。当然，由于在古代尚未发展处“三角函数”，甚至于连角度的概念都没有完全形成，所以所出现的余弦定理都只是现代余弦定理的几何等价形式。比如古希腊时期欧几里得，在其《几何原本》里就阐述了几条余弦定理的等价命题：
　　
　　1：在钝角三角形中，钝角对边上的正方形，比钝角两夹边上的正方形之和大一个矩形的两倍，这个矩形就是由一锐角向对边的延长线做垂线，垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形。
　　
　　2：在锐角三角形中，锐角对边上的正方形，比锐角两夹边上的正方形之和小一个矩形的两倍，这个矩形就是由一锐角向对边做垂线，垂足到原锐角顶点之间的一段与该边所构成的矩形。
　　
　　将这两个命题翻译成几何语言，就是在如下图所示的图形中：
　　

　　到了希腊的“白银时代”，著名数学家帕普斯也对勾股定理进行了有意思的推广：
　　

　　在一个任意三角形ABC中，帕普斯在AB边上做一个平行四边形ABDE，在BC边上做平行四边形BCFG，然后在AC边上做一个平行四边形，使其面积等于ABDE和BCFG之和。要实现这个目的并不难，只需延长ED和FG，使其交于H点，连接HB并延长之并交AC于J，做AL平行HJ，CK平行HJ，交ED和GF于L点和F点，那么平行四边形ALKC就是所作的。如果把两个平行四边形变成正方形，那这个结论就更像勾股定理的推广了。
　　
　　十世纪左右阿拉伯的库拉也有他的“余弦定理”：
　　
　　库拉的推广非常有意思，这实际上是对欧几里得证明勾股定理时所采用的纸风车图所做的很优美的一般化，
　　

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