Riemann 猜想漫谈 (十五) |
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| 来源：不详 更新时间：2012-12-4 12:03:45 |
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临界线定理：存在常数K>0及T0>0，使得对所有T>T0，Riemannζ函数在临界线上0≤Im(s)≤T的区间内的非平凡零点数目不小于KTln(T)。
Selberg得到这一结果是在1942年，当时欧洲的战火仍在燃烧，奥斯陆大学仍处于与世隔绝之中。外界的数学家们固然大都不知道他的这一重大成果，Selberg本人也不确定自己是否又会像当年改进Hardy与Ramanujan的工作那样重复别人已经完成过的东西。战争一结束，当他听说邻近的Trondheim理工学院(InstituteofTechnologyinTrondheim)已经收到了在战争期间无法送达的数学杂志时，就专程前往，花了一星期的时间查阅文献。这一次他没有失望，二十一年来数学界对Riemannζ函数非平凡零点分布的解析研究基本上仍停留在Hardy-Littlewood定理的水平上，孤独的Selberg远远地走到了时代的前面。
那么Selberg的这一临界线定理究竟强到什么程度呢，让我们再回忆一下在第五节中提到过，并在后面章节中屡次被引述过的Riemann那三个命题中的第一个——也是唯一一个被证明了的——命题：在0<Im(s)<T的区间内(不限于临界线上)，Riemannζ函数非平凡零点的数目约为(T/2π)ln(T/2π)-(T/2π)。将这个结果与Selberg的临界线定理相比较，显然可以看到(请读者们自行证明)：临界线定理表明Riemannζ函数位于临界线上的零点在全部非平凡零点中所占渐进比例的下限大于零！就这样，从Bohr、Landau到Hardy、Littlewood，再到Selberg，经过一系列艰辛的解析研究，数学家们所确定的位于临界线上的零点数目终于破天荒地超过了0%，达到了一个“看得见”的比例，这在Riemann猜想的研究中是一个重要的里程碑。（来源：科学松鼠会）
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