Riemann 猜想漫谈 (十四)

Hardy定理在研究Riemann猜想的征程上无疑是一个了不起的成就。但是它距离目标究竟还有多远呢？却是谁也答不上来。从字面上看，Riemannζ函数共有无穷多个非平凡零点，而Hardy定理所说的正是有无穷多个非平凡零点位于临界线上，两者似乎已是一回事。可惜的是，“无穷”这一概念却是数学中最微妙的概念之一，两个“无穷”之间非但未见得相同，简直可以相距要多遥远有多遥远，甚至相距无穷远！因此，为了知道我们离目标究竟还有多远，我们还需要比Hardy定理更具体的结果。
　　
　　幸运的是，那样的结果很快就有了，离Hardy定理的问世仅仅相隔七个年头。在研究Riemann定理的征程中，时间动辄就以几十年计，因此七年应该算是很短的时间。这回出现在英雄榜上的人物除了Hardy外，还有Hardy的同胞兼“亲密战友”Littlewood。
　　
　　二十四.Hardy-Littlewood定理
　　
　　Hardy一生除了对数学本身的卓越贡献外，还有两段与他人合作的经历在数学史上被传为佳话。其中一段是与印度数学奇才SrinivasaRamanujan(1887-1920)的传奇性的合作，另一段便是与Littlewood的合作。Littlewood与Hardy一样，是英国本土的数学家。我们曾在第一节中介绍过，英国的数学界自Newton-Leibniz论战以来渐渐与欧洲大陆的数学界孤立了开来。1906年，当Littlewood还是剑桥大学三一学院(TrinityCollege)的一位年轻学生的时候，这种孤立所导致的一个有趣的后果落到了他的头上。他当时的导师、英国数学家ErnestBarnes(1874-1953)在那年的暑期之前随手写给了他一个函数，轻描淡写地告诉他说这叫做ζ函数，让他研究一下这个函数的零点位置。初出茅庐的Littlewood不知ζ函数为何方神圣，领命而去倒也罢了，但Barnes居然能漫不经心地把这样的课题交给当时还是“菜鸟”(尽管算是比较厉害的“菜鸟”)的Littlewood，说明他对欧洲大陆在近半个世纪的时间里对这一函数的研究，以及由此所显示的这一课题的艰深程度了解得很不够。
　　
　　不过Barnes虽有对“敌情”失察之过，把任务交给Littlewood却是找对人了，因为Littlewood很快就成长为了英国第一流的数学家。而在这过程中，Barnes所给的这个课题对他的成长不无促进之功。若干年后，当Littlewood终于体会到了Riemann猜想的艰深程度，甚至开始怀疑其正确性(参阅第九节)的时候，他并没有后悔当时曾经接下了这一课题，因为一位真正优秀的数学家在面对一个绝顶难题的时候，往往会被激发出最大的潜力及最敏锐的灵感。
　　
　　事实上，拿到上述课题后的第二年，Littlewood就发现这个ζ函数与素数分布之间存在着紧密关联。对于欧洲大陆的数学家来说，这种关联已不足为奇，因为它早在四十八年之前就被Riemann发现了。但在闭塞的英国数学界，欧洲大陆在这方面的工作当时还鲜为人知。不过闭塞归闭塞，例外还是有的，其中与Littlewood恰好同在三一学院的Hardy就是一个例外。尽管Littlewood的发现在时间上未能领先，但他能独立地重复Riemann的部分工作，其功力之不凡还是给年长的Hardy留下了深刻印象。此后Littlewood在曼彻斯特大学(UniversityofManchester)大学教了三年书。1910他在获得了三一学院的教职后重返剑桥，由此开始了与Hardy长达三十七年亲密无间的合作生涯，直至1947年Hardy去世为止。
　　
　　Hardy与Littlewood的合作堪称数学史上合作关系的典范。在他们合作的极盛时期，欧洲数学界流传着许多有关他们的善意玩笑。比如Bohr(Bohr-Landau定理中的Bohr)曾经开玩笑说当时英国共有三位第一流的数学家：一位是Hardy，一位是Littlewood，还有一位是Hardy-Littlewood。而与之截然相反的另一个玩笑则宣称Littlewood根本就不存在，是Hardy为了自己的文章一旦出现错误时可以有替罪羊而杜撰出来的虚拟人物。据说Landau(Bohr-Landau定理中的Landau)还专程从德国跑到英国来证实Littlewood的存在性[注五]。
　　
　　Hardy与Littlewood对临界线上非平凡零点的研究起点与Hardy定理相同，也是上面提到的G(x)与ξ(s)之间的积分表达式。在Hardy定理的证明中，如我们在上文及注释中看到的，着眼点是2

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