Riemann 猜想漫谈 (十四)

ξ(z)xz-1/z(z-1)在整个临界线上的积分。这一着眼点其实已经为Hardy定理的结果埋下了伏笔。正所谓“种瓜得瓜，种豆得豆”，既然所研究的是整个临界线上的积分，所得到的当然也就只是有关整个临界线上零点总数的笼统结果。
　　
　　那么，为了得到能与Riemann猜想对非平凡零点的描述进行具体比较的结果，我们需要什么呢？我们需要的不仅是对整个临界线上零点总数的研究，更重要的是要了解临界线上位于区间0≤Im(s)≤T的零点数目。为此，Hardy与Littlewood研究了2ξ(z)xz-1/z(z-1)在临界线上任一区间的积分，即：
　　
　　其中Re(s)=1/2。通过对这一积分的细致研究，Hardy与Littlewood发现临界线上不仅有无穷多个非平凡零点，而且虚部在0到T之间的零点总数随T趋于无穷的速度起码是KT(其中K为大于零的常数)。他们发表于1921年的这一结果在数学界并无确切名称，我们在这里将它称之为Hardy-Littlewood定理[注六]，它的完整表述如下：
　　
　　Hardy-Littlewood定理：存在常数K>0及T0>0，使得对所有T>T0，Riemannζ函数在临界线上0≤Im(s)≤T的区间内的非平凡零点数目不小于KT。
　　
　　有了这样的具体结果，我们就可以将它与Riemann猜想相比较了。那么，Hardy-Littlewood定理距离Riemann猜想这一目标究竟有多远呢？为了回答这一问题，我们可以回忆一下第五节中Riemann那三个命题中的第一个，即：在0<Im(s)<T的区间内(不限于临界线上)，Riemannζ函数的零点总数大约为(T/2π)ln(T/2π)-(T/2π)。这个命题于1905年被Mangoldt所证明，并且也是Riemann那三个命题中迄今唯一得到证明的命题。与这个命题相比，我们可以看到一个令人沮丧的结果，那就是Hardy-Littlewood定理所给出的对临界线上非平凡零点数目下限的渐近估计相对于零点总数来说，其渐近比例为零！真是不比不知道，一比吓一跳，原来花了这么大功夫所得到的这一结果从纯比例的角度看竟是如此地“微不足道”。
　　
　　这就是我们与Riemann猜想的距离所在，也是Riemann猜想的难度所在。
　　
　　但尽管如此，Hardy-Littlewood定理是有关Riemannζ函数非平凡零点在临界线上的具体分布的第一个解析结果。在当时也是唯一一个那样的结果，其重要性是不言而喻的。Hardy-Littlewood定理的这一纪录总共维持了21年，直到1942年才被我们在第十七节中提到过的Selberg所打破。
　　
　　注释
　　
　　1.Hardy一生对数学有着诸多贡献，“Hardy定理”这一名称有时也被用来表示复变函数论中的一个定理，为避免歧义，我们在这里添加了“在Riemann猜想的研究中”这一限定。
　　
　　2.在历史上，这种存在性证明由于其非构造性的特征，曾被以荷兰数学家L.E.J.Brouwer(1881-1966)、德国数学家HermannWeyl(1885-1955)、荷兰数学家ArendHeyting(1898-1980)等人为代表的数学哲学“三大流派”之一的直觉主义(Intuitionism)所排斥。但是存在性证明是数学中极其重要的方法，在很大程度上体现了逻辑与推理的力量，就像一个高明的侦探无需跑到罪犯家中将之拿下就可以推断出谁是凶手一样。直觉主义因排斥这种非构造性的方法而抛弃的东西实在太多，最后就连其代表人物之一的Weyl也不得不承认，在直觉主义中“数学家们痛苦地看着数学大厦中自己深信基础坚实的许多部分在他们的眼前化为了迷雾”。
　　
　　3.由于ξ(s)在临界线上为实数(参阅第十一节)，且ξ(s)=ξ(s)(参阅第二十二节)，ξ(1/2+it)作为t的函数是一个偶函数，因此我们只需考虑t>0的情形即可。
　　
　　4.限于篇幅，也为了避免涉及过多的技术性内容，我们略去了对这一点的证明。概括的讲，它主要包括三个步骤：1.消去左端的-1-1/x及右端被积函数中的1/z(z-1)以简化表达式。具体做法是用算符x(d2/dx2)x作用于G(x)的积分表达式的两端。这一步比较容易。2.证明简化后的左端H(x)=x(d2/dx2)xG(x)在x→i1/2时具有与G(x)一样的行为，即所有导数都趋于零

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