Riemann 猜想漫谈 (十三)

Bohr-Landau定理之前就已经被证明，并出现在1909年出版的Landau的名著《素数分布理论手册》(HandbuchderLehrevonderVerteilungderPrimzahlen)之中。
　　
　　既然前提成立，那么Bohr-Landau定理的结论也就成立了。这样我们就得到了继Hadamard与Vallée-Poussin之后又一个有关Riemannζ函数非平凡零点分布的重要结果：对于任何δ>0，位于Re(s)≥1/2+δ的非平凡零点在全部非平凡零点中所占比例为无穷小。或者换句话说，在包含临界线的无论多小的带状区域内都包含了几乎所有的非平凡零点。
　　
　　看到这里，有些读者也许会问：既然包含临界线的“无论多小”的带状区域都包含了几乎所有的非平凡零点，那么通过将这个带状区域无限逼近临界线，我们是不是就可以把那些零点“逼”到临界线上，从而证明几乎所有的非平凡零点都落在临界线上呢？很遗憾，我们不能。事实上单单从Bohr-Landau定理所给出的描述中，我们不仅无法证明几乎所有的非平凡零点都落在临界线上，甚至无法证明哪怕有一个零点落在临界线上！零点的分布完全有可能满足Bohr-Landau定理所给出的描述，却没有一个真正落在临界线上(请读者想一想这是为什么)。这是数学中与无穷有关的无数微妙细节中的一个。
　　
　　但尽管如此，Bohr-Landau定理对非平凡零点分布的描述比十八年前Hadamard与Vallée-Poussin所证明的结果还是要强得多。它虽然没能直接证明临界线上有任何零点(Hadamard与Vallée-Poussin的结果也同样不能证明这一点)，但它非常清楚地显示出了临界线在非平凡零点分布中的独特地位，即它起码是Riemannζ函数非平凡零点的汇聚中心。这是一个沉稳而扎实的进展，数学家们正在一步步地逼近着临界线。
　　
　　注释
　　
　　1.当然，在1914年之前也曾有过一些值得一提的结果，比较著名的一个是芬兰数学家ErnstLindelöf(1870-1946)于1908年提出的有关虚部t趋于无穷时|ζ(σ+it)|渐进行为的猜想，即所谓的Lindelöf猜想(Lindelöfhypothesis)。1918年，Lindelöf的学生RalfJosefBacklund(1888-1949)证明了Lindelöf猜想等价于这样一个命题，即Riemannζ函数在复平面上{1/2<σ≤Re(s)≤1,T≤t≤T+1}的非平凡零点的数目为N(σ,T)=o(lnT)。读者们可以对比第五节中Riemann三个命题中的第一个来思考一下这一猜想的含义。不过Lindelöf猜想虽然远比Riemann猜想弱，其证明却出乎意料地困难，直到今天也还只是一个猜想(1998年曾有人提出过一个长达89页的证明，但后来被发现是错误的)，因此我们只在这里简略地提一下。
　　
　　2.这里我们所用的表述和Bohr与Landau所用的略有差异。他们的表述是针对(1-21-s)ζ(s)的平均值而给出的。
　　
　　3.Bohr与Landau实际证明的结果比这更具体，他们证明了对于任何δ>0，位于{Re(s)≥1/2+δ,0≤t≤T}的非平凡零点的数目不超过KT(从而所占比例为无穷小——请读者思考一下这是为什么？)。（来源：科学松鼠会）

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