很简单吧？不愧是中小学算术，但我们的科普很快就要提速了。
既然含有两个元素的有限域记为F2，那么大家一定可以推想到，含有p个元素的有限域的记号就是Fp。完全正确！不过，细心的读者也许会提出一个问题：那就是p这个字母在我们这个系列中通常是表示素数的，这里为何不用一个更普通的字母，比如n呢？答案是：这是存心的。我们刚才提到过，某些Gauss时钟可以用来表示有限域，到底是哪些Gauss时钟呢？正是那些所含刻度数目为素数的Gauss时钟。这一点的普遍证明并不困难，感兴趣的读者可以从前面所说的刻度数目为12的Gauss时钟不能表示有限域的原因入手，来琢磨一下普遍证明的思路。
能够用Gauss时钟来表示，对于有限域来说无疑是一个很利于科普的特点，但却不是必不可少的条件。事实上，不能用Gauss时钟来表示(即元素数目不是素数)的有限域也是存在的。而更微妙的是，有限域的元素数目虽然可以不是素数，却也不是完全任意的。那么，究竟什么样的元素数目才是可能的呢？答案是：它必须为素数的正整数次幂。换句话说，如果我们用Fq表示有限域，那么q只能是q=pn(n=1,2,3,...)[注四]。现在我们可以对所含刻度数目为12的Gauss时钟做出更完整的评价：它确实是一个很糟糕的例子，因为12不仅不是素数，连素数的正整数次幂都不是，因此根本就不存在元素数目为12的有限域，更遑论用那样的Gauss时钟来表示。
好了，从模算术开始，我们引出了有限域这个概念，并宣称这是我们在本节中真正感兴趣的东西。那么，对于有限域，究竟有什么东西值得我们研究呢？答案是：方程。事实上，域的概念的引进，本身就与研究方程有着密切关系，因为减法与除法这两种运算的引进，在很大程度上就是为了研究诸如a+?=0和a×?=1那样的方程。研究方程是数学中最古老的探索之一，像方程是否有解？有多少个解(即解的数目)？如何求解？那样的课题，从古至今都有一些数学家在研究。
而对这些课题的研究，往往与在什么域中研究有着很大关系。比如说，曾经难住数学家们长达358年(这个记录连Riemann猜想也未必能打得破)才被解决掉的Fermat猜想(如今已荣升为Fermat大定理)如果放到实数域中，根本就不是问题。既然对方程的研究与在什么域中研究有着很大关系，那么有限域上的方程自然也可以成为研究课题，事实也确实如此。这其中很受数学家们钟爱的一类方程叫做代数方程(algebraicequation)，也叫多项式方程(polynomialequation)，它只包含变量的整数次幂(Fermat大定理所涉及的方程就是一种代数方程)。我们接下来要讨论的就是有限域上的代数方程。
作为有限域上代数方程的最简单的例子之一，我们考虑有限域Fq上的二元代数方程F(x,y)=0。这里F(x,y)是一个所有系数及变量x、y都在Fq中取值的多项式(“所有系数及变量x、y都在Fq中取值”是该方程作为“有限域Fq上”的方程所需满足的定义性条件)。我们知道，像F(x,y)=0这样的二元方程在实平面上的解(即x、y都为实数的解)的集合通常是曲线，借用这种术语，数学家们把二元代数方程F(x,y)=0的解的集合称为代数曲线(algebraiccurve)[注五]，如果该二元代数方程是有限域上的方程，相应的解的集合则称为有限域上的代数曲线。当然，这种所谓的“曲线”实际上只是有限多个点的集合，因为它所在的整个“平面”Fq×Fq总共也只有q2个点。
另一方面，一个代数方程F(x,y)=0如果是有限域Fq上的方程，当然也是以Fq为子域(subfield)、但比Fq更大的有限域上的方程，从而可以表示那些更大的有限域上的代数曲线。那些更大的有限域称为Fq的扩张域(extensionfield)。可以证明，Fq的扩张域是那些所含元素个数为q的正整数次幂的有限域，即Fqm(m=1,2,3,...)。因此，有限域Fq上的代数方程F(x,y)=0可以被视为是所有有限域Fqm(m=1,2,3,...)上的代数方程。
以上这些貌似与Riemann猜想风马牛不相及的东西，就是“山寨版”Riemann猜想赖以存身的那座“山”。
三十三.“山寨版”Riemann猜想
现在我们要往“山寨版”Riemann猜想挺进了。由于Riemann猜想是关于Riemannζ函数零点分布的猜想，因此很明显，要想有Riemann猜想上一页 [1] [2] [3] [4] [5] 下一页
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