Riemann 猜想漫谈 (十八)

。不过，Weil猜想中的“山寨版”Riemann猜想的证明虽然困难，其由来却是对上述“山寨版”Riemann猜想的很直接的推广，即将上述猜想中的代数曲线推广为高维几何对象。这种高维几何对象有一个专门的名称，叫做代数簇(algebraicvariety)，它也是用代数方程(或方程组)来定义的，并且也可以定义在有限域上。与有限域上代数曲线的ζ函数完全类似地，也可以引进有限域上代数簇的ζ函数。对于这种ζ函数，也存在“山寨版”的Riemann猜想，我们称其为有限域上代数簇的“山寨版”Riemann猜想，它是Weil对有限域上代数曲线的“山寨版”Riemann猜想的推广，也是Weil猜想的一部分。
　　
　　有读者可能会问：将曲线推广为高维几何对象这样直截了当的推广，那是中学生都能想到的事情，为何要等到1949年才问世？答案是：有限域上代数簇的“山寨版”Riemann猜想与普通(即有限域上代数曲线的)“山寨版”Riemann猜想以及“正版”Riemann猜想有一个绝非显而易见的差异，那就是它所要求的零点分布不再是单一直线，而是与代数簇的维数有关的一系列直线。具体地说，Weil猜想中的“山寨版”Riemann猜想是这样的：
　　
　　有限域上代数簇的“山寨版”Riemann猜想：有限域上的d维代数簇的ζ函数的所有零点都位于复平面上Re(s)=1/2,3/2,...,(2d-1)/2的直线上。
　　
　　如前所述，这一“山寨版”Riemann猜想只是Weil猜想的一部分，而非全部。Weil猜想还包括了关于有限域上代数簇的ζ函数的另外几个命题。虽然与普通(即有限域上代数曲线的)“山寨版”Riemann猜想及“正版”的Riemann猜想都有所不同，这个推广了的“山寨版”Riemann猜想与后两者的相似性还是很显著的，不算有负“山寨版”的“光荣称号”。此外，在d=1的特殊情况下，该猜想可以自动给出有限域上代数曲线的“山寨版”Riemann猜想，这也印证了它作为“山寨版”Riemann猜想的地位。
　　
　　Weil猜想提出后引起了很多数学家的兴趣，在试图证明这一猜想的数学家中，包括了Artin的学生BernardDwork(1923-1998)、Artin的儿子MichaelArtin(1934-)、1954年Fields奖得主Jean-PierreSerre(1926-)、1966年Fields奖得主AlexanderGrothendieck(1928-)等人。经过这些数学家的努力，Weil猜想的某些部分在二十世纪六十年代得到了证明，但有限域上代数簇的“山寨版”Riemann猜想部分，则直到1974年才由Grothendieck的学生、比利时数学家PierreDeligne(1944-)所证明，他的证明借助了Grothendieck的工作。四年之后，Deligne因这一工作获得了1978年的Fields奖。在证明包括“山寨版”Riemann猜想在内的Weil猜想的过程中，数学家们发展出了一些很有用的东西，比如Grothendieck创立了一种全新的数学工具：Étale上同调(Étalecohomology)，对数学——尤其是代数几何——的发展起到了促进作用。从这个意义上讲，“山寨版”Riemann猜想与其它一些重要的数学猜想一样，是一只“下金蛋的鹅”(thegoosethatlaysthegoldenegg——这是Hilbert对Fermat猜想的评价)。这也是它的证明虽迄今不曾为人们提供证明“正版”Riemann猜想的有效思路[注八]，却依然被视为重要成就的主要原因。当然，“山寨版”Riemann猜想的证明，多多少少使一些人对“正版”Riemann猜想的成立抱有了更大的信心。
　　
　　在结束本节前，还有一件事情需要交代一下。细心(或挑剔？)的读者也许还会提出这样一个问题：我们说了半天的“山寨版”Riemann猜想，作为基础的那个所谓“山寨版”的Riemannζ函数跟“正版”的Riemannζ函数并不像啊？难道就凭它的零点也都在直线上，就将它称为“山寨版”的Riemannζ函数，既而将有关其零点分布的猜想称为“山寨版”Riemann猜想吗？如果那样的话，炮制“山寨版”Riemann猜想可就忒容易了，因为构造一个所有零点都在直线上——甚至在Re(s)=1/2的直线上——的函数其实是很容易的事情(请读者自行构造几个那样的函数)，难道那样一来它们就都可以跟Riemann猜想攀上亲？
　　
　　这些问题的答案是：这里引进的“山寨版”Riemannζ函数及Ri

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