Riemann 猜想漫谈 (二十)大结局

名同事更是几乎从不使用)的词汇——比如“灾难性的”、“完全是胡扯”等等——才能形容那次演讲的糟糕。Nash罹患精神分裂症的原因，一般认为是参与军方工作所引致的心理压力，但发病前的那段时间与他研究Riemann猜想恰好重叠，使得有些人认为Riemann猜想对他的病症发展有可能起到过推波助澜的作用。
　　
　　另一个例子的主角是我们在第三十三节中提到过的、曾经为证明“山寨版”Riemann猜想(即Weil猜想的一部分)作过重要铺垫工作的Grothendieck。这位在代数几何等诸多领域有着卓越贡献的数学家也有人猜测可能是因为研究Riemann猜想的缘故，使得精神出现异常，自上世纪七十年代开始就基本退出了学术界，后来发展到“离家出走”，几乎从世界上消失了[注五]。人们猜测他目前住在法国南部。关于他在做什么，则众说纷纭，有人说他正在研究一种新的经济学，有人说他在牧羊，而据个别自称与他仍有过交往的数学家说，他已沉溺于对恶魔(devil)的想象不能自拔，比如他相信是恶魔把本应该是300,000千米/秒的数值优美的光速变成了很难看的299,887千米/秒(细心的读者也许注意到了，这个数值本身就是错的，实际数值应为299,792.458千米/秒，不知是Grothendieck记错了还是数学家传错了)。Grothendieck失踪十几年后，很多人都已搞不清他是否还健在，他却忽然于2010年1月给自己以前的学生、法国数学家LucIllusie(1940-)写了封亲笔信，宣布自他“消失”后所出版或再版的他的一切文字都是未经许可的，那些文字不得再版，已收录了那些文字的图书馆也必须将之撤除。他的这一信件被公布后，一些提供那些文字的网站已对有关内容作了撤除。这个要求对数学界是一件不幸的事情，因为他的很多文字，比如著名的《代数几何基础》(Élémentsdegéométriealgébrique——简称EGA)和代数几何讨论班资料(SéminairedeGéométrieAlgébriqueduBoisMarie——简称SGA)，都早已是极重要的资料，如果不能再版或不能被图书馆收录的话，后人将会越来越难看到它们[注六]。
　　
　　写了这么多有关Riemann猜想的故事，介绍了这么多有关Riemann猜想的进展，有一个问题似乎不能不提一下——而且那想必也是读者们感兴趣的问题，那就是Riemann猜想将会被证明是正确的呢，还是会被证明为错误(即否证)？可惜的是，这个有关Riemann猜想“前途命运”的问题是一个谁都能提出，却没有人能够回答的问题，数学家们对此也各有各的倾向而毫无共识。
　　
　　有些数学家坚信Riemann猜想是正确的，比如我们在第十四节中提到过的那位输掉了葡萄酒的Zagier。Zagier相信Riemann猜想的理由很“纯朴”，那就是认为数值证据已经足够强大了——读者们想必还记得，他是因为有人验证了Riemannζ函数前三亿零七百万个零点都在临界线上而输掉葡萄酒的。这个纪录如今早已被打破，我们在附录二中介绍过，二零零四年十月，法国人Gourdon与Demichel已经验证了Riemannζ函数前十万亿(1013)个零点都在临界线上。不仅如此，我们在第十六节中还介绍过，Odlyzko曾经验证过第1022和1023个零点附近的几百亿个零点也全都在临界线上。这些证据都远远强于使Zagier满意的证据。可见支持Riemann成立的数值证据确实很强大。但可惜的是，所有这些证据加在一起，也无法成为让所有人信服Riemann猜想的可靠理由。其原因不仅在于从逻辑上讲再多的数值证据对于一个包含无穷多个例的猜想来说都是微不足道的，而且也因为在数学上我们已经遇到过这样的例子，即一个数学命题的反例出现在比上述所有数值证据都强得多的证据之外。那例子就是我们在第三节的注释中提到过的、被Littlewood所否证了的关于Li(x)-π(x)>0的猜测。对于迄今所有被验证过的情形，Li(x)-π(x)>0都成立，但Littlewood却运用分析的力量，不仅证明它不成立，而且证明了它会被违反无穷多次！那么所有验证过的情形说明什么呢？说明虽然有无穷多个x违反Li(x)-π(x)>0，但其中哪怕最小的x也大得异乎寻常[注七]。事实上，我们直到今天也不知道这个最小的x究竟有多大，目前对它的估计约为10316。这个数字如果用中文写出来的话，是：一万亿……亿(此处作者略去三十七个字——别想歪了，大家知道略去的是什么字)。与这个数字相比，我们对Riemannζ函数非平凡零点的数值验证简直差得太远了。假如Riemann猜想的反例也出现在那样的地方(即比如出现在第10316个

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