俗语新解，用数学的眼光看世界 |
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| 来源：不详 更新时间：2013-1-16 12:14:46 |
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财产变成n+1，输的时候变成n-1，所以p(n)=(p(n+1)+p(n-1))/2。当n=0的时候，即使不用赌，所有东西都输光了，所以p(0)=1。
所以，p可以看作一个满足下列递推关系的数列：
p(0)=1
p(n+1)=2p(n)-p(n-1)，也就是p(n+1)-p(n)=p(n)-p(n-1)
容易验证p(n)=n*p(1)-(n-1)正好符合上面的递推关系。因为p(n)>=0，所以对于任意的n，必定有p(1)>=1-1/n，所以p(1)=1，从而对于所有的n，p(n)=1。在无限次的赌博中，赌徒在某一次赌博中输光的概率是1。
赌徒的赌博轨迹，可以用所谓的马尔可夫链来描述。赌徒的财产作为状态，而每次赌局相当于在这些状态之间转移，赢钱时转移到钱多些的状态，输钱时转移到钱少些的状态。而破产的状态就像个陷阱，是跳不出的，因为已经没有赌本了。如果一条有限的马尔可夫链有这样的“陷阱”状态，而每一个状态都有可能到达“陷阱”的话，在不断的转移中，总有一天会掉到“陷阱”里去。而即使是无限的马尔可夫链，在赌徒和拥有无限本钱的赌场之间，即使是平等的对赌，由于赌徒赌本有限，也总有一天会输光。所谓“久赌必输”，其实说的就是这么一个道理。（来源：科学松鼠会）
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