作者：学夫子
前面我们讲辗转相除法的时候，顺便讲过辗转相除法的雏形——迭代相减法，总体来说就是大数减小数，结果与小数构成新数组，进行相同的动作，直到只剩下一个非零数为止，这个非零数就是这几个数的最大公约数。今天我们把这一思想稍微变换一下：给定三个数，大数减小数，得到的三个数组成新的数组，再对新数组进行相同的动作，这样轮流下去，结果会是怎样？
答案是，最后将陷入0→a→a式的循环。如下面所示的几个例子
(13,9,16)→(4,7,3)→(3,4,1)→(1,3,2)→(2,1,1)→(1,0,1)→(1,1,0)→(0,1,1)→(1,0,1)→…………
(23,18,31)→(5,13,8)→(8,5,3)→(3,2,5)→(1,3,2)→…………后面的就和上面一样了
我们可以证明，对于任意的三个数，不仅是自然数，负数，小数什么的都可以，进行相同的动作以后，必定会陷入0→a→a式的循环。我们假设三个数为a,b,c，并且设a≥b≥c，因为只有三个数，所以这三个数不管怎么排列都是出现相同的结果。
(a,b,c)→(a-b,b-c,a-c)
到这一步我们似乎就无法继续下去，但是我们可以发现，第一步以后得出来的三个数有着很明显的特征：a-b+b-c=a-c；也就是其中两个数之和等于第三个数，这其实就是“类费氏数列”中的相邻三个数。显然地，若继续下去，将会得到一组小的费氏数组，然后进一步会得到更小的费氏数组……但是我们都知道，这个小是有限度的，因为必须保证三个数大于零，但是这个过程又可以无限继续下去，所以唯一的解释就是这个数组必定会陷入一个循环。这个循环就是我们的0→a→a式循环，因为除此之外不存在其他的循环。
上面的解释是比较粗糙的，真正的解释比较复杂，至少我是没有找到简单点的，希望各位有。
但是类似的，对于四个数却是另外一种情况，因为假设四个数为a,b,c,d且a≥b≥c≥d，进行相同的动作以后，不一定就出现(a-b,b-c,c-d,a-d)，因为他们会出现其他情况，也就是第一步以后不一定出现三个数之和等于第四个数的结果。以题目为例。
(13,9,16,25)→(4,7,9,12);(9,13,16,25)→(4,3,9,16)
所以对于四个数的情况，似乎就不能按照我们上面的方法去探究。那么对于四个数的情况，最终是不是会陷入循环呢？也许答案会让你惊讶：最终会全部变成0→0→0→0！
(13,9,16,25)→(4,7,9,12)→(3,2,3,8)→(1,1,5,5)→(0,4,0,4)→(4,4,4,4)→(0,0,0,0)
(9,13,16,25)→(4,3,9,16)→(1,6,7,12)→(5,1,5,11)→(4,4,6,6)→(0,2,0,2)→(2,2,2,2)→(0,0,0,0)
不管一开始你取的是什么数，整数也好，负数也好，任何实数也好，其最终都将归为四个零就好像太阳最终会用尽一样。更有趣的是，如果我们一开始不是采取相减得方法，而是采取相除的办法，而且在相除的时候总是用大数除以较小数，那么最终结果会是怎样？其最后会归于(1,1,1,1)!比如我们一开始取(2,3,7,10),经过各轮变换如下：
对群论有点了解的人都知道，0是加法群的幺元，1是乘法群的幺元，上面的变换虽然简单，确实意义深刻。（来源：学夫子数学博客）
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