为什么少了一块？数学一著名谜题探究

作者：学夫子
　　
　　各位游弋于互联网大海的朋友，相信你们绝对见过下面的题目，尽管你从事的工作和数学无关，但这已经成了QQ群的谈资。而且你们也见过很多答案。今天我们进一步分析这种题目，来探索他所隐含的东西。
　　

　　进行相应的平移以后，为何下面的就要少一块呢？这一块到哪里去了？关于这个问题，网上已经有很多的答案，百度百科里的可以参考参考：失踪的正方形谜题。总体来说就是因为红色三角形与大三角形其实并不是相似，这其中有微小的差距，不容易看出来，再加上背后方格的衬托，就显得更加地扑朔迷离了。
　　
　　那么这样的谜题又是如何构造的？如何就能保证画好以后就刚刚只差一个正方形呢？这得和我们的菲波拉契数列有关。你细心观察一下上面的图的数据你就会明白：
　　
　　红三角形的两直角边：3,8
　　
　　蓝三角形的两直角边：2,5
　　
　　还有其他哥哥边长的数据：1,2,3,5
　　
　　这些是什么？这些是费氏数列的项！为何偏偏要采用这些数据？这得益于费氏数列那简单的特质：
　　

　　这个性质可以采用数学归纳法证明。这在我以前的文章里都已经提及过。现在我们根据这个式子来构造一个消失的正方形“谜题”。取Fn=8，那么有82=5×13-1.于是我们构造一个边长为8的正方形，面积为64，将它按照图中所示分割(注意是分割成8的前两项3和5)，然后再拼成右边的长方形
　　

　　你将会不可思议地发现，面积为64的正方形居然可以拼成一个面积为65的长方形！这多余的那块如何而来？原因就在于，A、B、C、D四点并非在一条直线上，这四点其实是构成一个面积为1的平行四边形的，只不过在图中并没有展示出来而已，若要是在上图中加上方格背景，那这效果会更好。
　　
　　所以在以后，你可以采用菲波拉契数列的性质来构造自己的几何谜题，而且还能准确无疑地只相差一个单位1.看透问题本质，这才是根本所在。像我们一开始的题目，你可以先构造一个5×8的长方形，类同与前面的绿色和黄色部分，相应的蓝色三角形就是8×3，红色三角形就是5×13，同样的方法平移，一样可以达到饶人耳目的效果。其实最终借用的，还是需要红色三角形与蓝色三角形看起来非常相似。这用的就是费氏数列一个熟知的结论：后一项与前一项的比值趋近于黄金分割比。（来源：学夫子数学博客）