相信吗，仅仅利用一张日落的照片，你就能得出地球的半径大小！Princeton大学的RobertVanderbei在最近的一篇论文中对一张摄于密歇根湖的日落照片进行了分析,不但证实了地球是圆的，还依据照片上的内容对地球半径进行了估算。我把计算的大致过程向大家描述一下，供大家膜拜。
事情的起因就是上面这张很平常的日落照片，以及这样一个大家平时并没有太在意的问题：太阳露出水面的部分应该是一个标准的弓形，但为什么在日出日落时，我们所看到的太阳是一个橄榄球一样的形状?大家或许会很快想到，发光体的下半部分其实是日光反射在水面上造成的。随之产生的是另一个问题：为什么它的下半部分要比上半部分小一些呢？
这是因为——想到这个问题的答案并不容易——地球是圆的。上图就是人站在地球上看日出的一个比例夸张版示意图，其中O为地球的中心,A为人眼的位置，AB为视平线，B点为水天交界处。由于太阳距离我们相当遥远，因此我们把太阳光看作是一束理想的平行光线。我们把直接射入人眼的太阳光与AB的夹角记为α，把经过水面上的一点C反射进入人眼的光线与AB的夹角记为β。从图上可见,视角β比α小，也就是说太阳在水面上的镜像比本身要小一些。
β究竟比α小多少呢？对照片进行精确地测量，可知太阳的直径相当于照片中的317个像素，而露出水面的部分高69像素，水中的倒影则只有29像素。众所周知太阳的视直径（看太阳的视角）为0.5度，因此我们就得到α=0.5*69/317≈0.1088度，β=0.5*29/317≈0.0457度。
如果再已知人眼（或者说相机）离水面的垂直距离h为2米，那么根据这些数据我们就足以估算出地球的半径了。不妨把∠AOB记为φ,把∠AOC记为θ，把人眼到水天相接处的距离AB记为D，把人眼到反射点的距离AC记为d,入射角和反射角记为γ,最后用r来表示地球半径,那么此时我们一共有6个未知量。为了求解出这6个未知数，我们需要寻找6个不同的方程。这6个方程可以由以下6组等量关系得到：
1.四边形OBAC的内角和为360°，即(φ-θ)+90°+β+(180°-γ+90°)=360°，化简得方程(1)φ+β=θ+γ
2.两条平行线的同旁内角相加为180°，即(α+β)+(180°-2γ)=180°，即方程(2)α+β=2γ
3.由于AO=h+r，同时又有AO=AD+DO=D•sinφ+r•cosφ，因此有方程(3)h+r=D•sinφ+r•cosφ
4.BD既可以等于D•cosφ，又可以等于r•sinφ，于是有方程(4)D•cosφ=r•sinφ
5.由于AO=h+r,同时又有AO=AE+EO=d•sin(γ+θ)+r•cosθ，因此有方程(5)h+r=d•sin(γ+θ)+r•cosθ
6.CE既可以等于d•cos(γ+θ)，又可以等于r•sinθ，于是有方程(6)d•cos(γ+θ)=r•sinθ
一系列复杂的代数运算（省略数百字）最终告诉我们：
r=h/(√1-2•cosβ•cosγ+cos2γ/sinβ-1)
其中γ=(α+β)/2。代入已知的α、β和h可以得到，地球半径r大约为7.29312*106米，也即7293千米。
这个估算的误差有多大呢？事实上,地球的半径大约为6300多千米，可见误差不是一般的大。不过，考虑到我们估算的依据仅仅是一张照片，能把数量级估对就已经相当牛了。除了测量的精度之外，还有很多潜在的因素会导致误差。目前看来，误差的最主要来源似乎是不完全平静的水面——一点小小的波浪就会给α、β的值带来巨大的影响。
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